Discuta a posição relativa dos pares de retas.
(c) r1:lx=2+t y=4-2 t z=1+3 t
e r2:lx=-1+4 s y=3-s z=2+2 s

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede para discutir sua posição relativa (se são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas). O conteúdo envolve geometria analítica no espaço: vamos extrair vetores diretores, verificar paralelismo e, em seguida, ver se há interseção.

Passo 2

Extraímos de cada reta um ponto e seu vetor diretor. Para \r
r1 temos ponto \r
,P1=(2,4,1) e vetor diretor \r
,v1=(1,-2,3). \r
Para \r
r2 temos ponto \r
,P2=(-1,3,2) e vetor diretor \r
,v2=(4,-1,2).

Passo 3

Verificamos se v1 e v2 são proporcionais. Se existisse lambda tal que \r
v2=lambdav1, as retas seriam paralelas ou coincidentes. Mas\r
41=4,-1-2=tfrac12,23approx0,67,\r
como essas razões não coincidem, os vetores não são colineares. Logo as retas não são paralelas.

Passo 4

Para checar interseção, igualamos as coordenadas de \r
Da primeira, . Na terceira equação:\r
\r
confere. Logo há solução única .

Passo 5

Com t=1 obtemos o ponto de interseção em qualquer das retas:\r
(2+1,;4-2,;1+3) = (3,2,4) \r
Portanto as retas se cruzam exatamente nesse ponto e não são paralelas nem coincidentes, mas sim concorrentes (secantes).

Resposta

As retas não são paralelas e intersectam-se no ponto (3,2,4), ou seja, são concorrentes.

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