Em cada item, verifique se o conjunto de vetores forma uma base de R^2.
(a) v1=(2,1) e v2=(3,0).
(b) v1=(4,1) e v2=(-7,-8).
(c) v1=(0,0), v2=(1,3) e v3=(-4,12).

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada item, se um certo conjunto de vetores forma uma base de R^2. Lembre-se que, em R^2, um conjunto de exatamente dois vetores forma base se e somente se eles forem linearmente independentes, o que pode ser testado pelo determinante de sua matriz com esses vetores como colunas. Um conjunto com mais de dois vetores em R^2 só pode ser base se exatamente dois forem independentes e os demais forem combinações lineares destes, mas uma vez que a dimensão é 2, não podemos ter base com três vetores todos independentes.

Passo 2

Para (a), temos vec v1=(2,1) e vec v2=(3,0). Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
A = 2 & 3 1 & 0
Calculamos
det(A) = 2cdot0 - 1cdot3 = -3 neq 0
Como o determinante é não nulo, vec v1 e vec v2 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^2.

Passo 3

Para (b), temos vec v1=(4,1) e vec v2=(-7,-8). A matriz é
B = 4 & -7 1 & -8,
e
det(B) = 4cdot(-8) - 1cdot(-7) = -32 + 7 = -25 neq 0
Também aqui o determinante é não nulo, logo os vetores são independentes e formam base de R^2.

Passo 4

Para (c), temos três vetores em R^2: vec v1=(0,0), vec v2=(1,3) e vec v3=(-4,12). Primeiro, vec v1 é o vetor nulo, o que já implica dependência linear de todo o conjunto. Além disso, mesmo ignorando vec v1, notamos que vec v3 = -4cdot(1,3) = -4,vec v2, ou seja, vec v2 e vec v3 são dependentes entre si. Portanto, não há dois vetores independentes suficientes para formar uma base de R^2.

Resposta

(a) Forma base de R^2.
(b) Forma base de R^2.
(c) Não forma base de R^2.

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