Em cada item, verifique se o conjunto de vetores forma uma base de .
(a) e .
(b) e .
(c) e .
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada item, se um certo conjunto de vetores forma uma base de . Lembre-se que, em , um conjunto de exatamente dois vetores forma base se e somente se eles forem linearmente independentes, o que pode ser testado pelo determinante de sua matriz com esses vetores como colunas. Um conjunto com mais de dois vetores em só pode ser base se exatamente dois forem independentes e os demais forem combinações lineares destes, mas uma vez que a dimensão é , não podemos ter base com três vetores todos independentes.
Passo 2
Para (a), temos e . Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
Calculamos
det(A) = 2cdot0 - 1cdot3 = -3 neq 0
Como o determinante é não nulo, vec v1 e vec v2 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^2.
Passo 3
Para (b), temos vec v1=(4,1) e vec v2=(-7,-8). A matriz é
Também aqui o determinante é não nulo, logo os vetores são independentes e formam base de R^2.
Passo 4
Para (c), temos três vetores em R^2: vec v1=(0,0), vec v2=(1,3) e vec v3=(-4,12). Primeiro, vec v1 é o vetor nulo, o que já implica dependência linear de todo o conjunto. Além disso, mesmo ignorando vec v1, notamos que vec v3 = -4cdot(1,3) = -4,vec v2, ou seja, vec v2 e vec v3 são dependentes entre si. Portanto, não há dois vetores independentes suficientes para formar uma base de R^2.
Resposta
(a) Forma base de R^2.
(b) Forma base de R^2.
(c) Não forma base de R^2.