Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor u. Sugestão. Use o exercício anterior.
(a) f(x, y)=xy, P=(2,1), u=(3 / 5,4 / 5).

Passo 1

Em resumo temos a função f(x,y)=xy, o ponto P=(2,1) e o vetor unitário de direção u=(3/5,4/5). O objetivo é calcular a derivada direcional de f em P na direção de u. Para isso, precisamos usar o gradiente de f e a definição de derivada direcional como produto escalar entre nabla f(P) e u.

Passo 2

A derivada direcional na direção de um vetor unitário u é dada por Duf(P)=nabla f(P)cdotu. Primeiro calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y)=1y,
partial fpartial y(x,y)=-xy^2
Logo, o gradiente de f é
nabla f(x,y)=(1y,,-xy^2)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(2,1):
nabla f(2,1)=(11,,-21^2)=(1,-2)
Então calculamos o produto escalar com u=(3/5,4/5):
Duf(2,1)=(1,-2)cdot(tfrac35,tfrac45)=1cdottfrac35+(-2)cdottfrac45=tfrac35-tfrac85=-1

Resposta

-1

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