Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor u. Sugestão. Use o exercício anterior.
f(x, y, z)=raizx+y z, P=(1,3,1), u=(2 / 7,3 / 7,6 / 7).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=raizx+yz
no ponto P=(1,3,1) na direção do vetor unitário
u=(2/7,,3/7,,6/7).
O conteúdo aqui é gradiente e definição de derivada direcional:
Duf(P)=nabla f(P)cdotu

Passo 2

Verificamos que u é de norma unitária:
|u|^2=l(27r)^2+l(37r)^2+l(67r)^2 =4+9+3649=1

Passo 3

Calculamos o gradiente de f de forma simbólica. Como
f(x,y,z)=(x+yz)^1/2,
temos
partial fpartial x=12raizx+yz, partial fpartial y=z2raizx+yz, partial fpartial z=y2raizx+yz

Passo 4

Avaliamos essas derivadas em P=(1,3,1). Primeiro x+yz=1+3cdot1=4 e raiz4=2, logo
partial fpartial x(P)=12cdot2=14, partial fpartial y(P)=12cdot2=14, partial fpartial z(P)=32cdot2=34
Assim
nabla f(P)=(tfrac14,,tfrac14,,tfrac34).

Passo 5

Fazemos o produto escalar
Duf(P)=nabla f(P)cdotu =14cdot27 +14cdot37 +34cdot67 =2+3+1828 =2328

Resposta

A derivada direcional de f em P na direção de u é
boxed2328

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