Em cada item, determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor
u. Sugestão. Use o exercício anterior.
(b) f(x, y)=x raizy, P=(2,4), u=(2,-1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=xraizy no ponto P=(2,4) na direção do vetor u=(2,-1). Para isso vamos usar a definição via gradiente:
Duf(P)=nabla f(P)cdotu,
onde u é o vetor unitário paralelo a u.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f. Tem-se
partial fpartial x=raizy, partial fpartial y=x2raizy,
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nabla f(x,y)=l(raizy,,tfracx2raizyr)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(2,4):
nabla f(2,4)=l(raiz4,,tfrac22raiz4r) =(2,tfrac12)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de u=(2,-1). O comprimento de u é
|u|=raiz2^2+(-1)^2=raiz5,
então
u=1raiz5(2,,-1) =l(tfrac2raiz5,,-tfrac1raiz5r)

Passo 5

Por fim calculamos a derivada direcional:
Duf(2,4) =nabla f(2,4)cdotu =2cdottfrac2raiz5+tfrac12cdotl(-tfrac1raiz5r) =4-tfrac12raiz5 =tfrac72raiz5 =72raiz5 =7raiz510

Resposta

Duf(2,4)=72raiz5 l(ou tfrac7raiz510r)

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