integral0^ln pi / 4 e^x sec e^x d x

Passo 1

Vamos resolver o integral definido integral0^ln pi4 e^x sec (e^x) dx. Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente em integrais. Para resolver, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir u = e^x . Agora, precisamos achar a derivada de u em relação a x para encontrar du .

Passo 3

Calculando a derivada de u em relação a x :
dudx = e^x implies du = e^x dx
Isso significa que e^x dx pode ser substituído por du na integral.

Passo 4

Agora, vamos substituir u = e^x e du = e^x dx na integral original:
integral0^ln pi4 e^x sec (e^x) dx = integralu=1^u=e^ln pi4 sec u , du
Aqui, mudamos os limites de integração de x para u . Quando x = 0 , u = e^0 = 1 , e quando x = ln pi4 , u = e^ln pi4 = pi^14 .

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral de sec u em relação a u . A integral de sec u , du é uma integral padrão e resulta em:
integral sec u , du = ln |sec u + tan u| + C
onde C é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C .

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:
ln |sec u + tan u| |1^pi^14 = ln (sec pi^14 + tan pi^14) - ln (sec 1 + tan 1)

Resposta

A solução do integral é:
ln (sec pi^14 + tan pi^14) - ln (sec 1 + tan 1)

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