Em cada item, determine o gradiente da função f.
(d) f(x, y)=4 y raizx.

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y)=4yraizx. Isso envolve o cálculo das derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y usando a regra do produto e a regra de potência para funções de várias variáveis.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Escrevendo f como
f(x,y)=4y,x^tfrac12,
aplicamos a regra de potência:
partialpartial xl(x^tfrac12r)=tfrac12,x^-tfrac12=12raizx
Multiplicando pelo fator constante 4y, obtemos
partial fpartial x =4ycdot12raizx =4y2raizx =2yraizx

Passo 3

Para encontrar partial fpartial y, tratamos x como constante e derivamos em relação a y. Como f(x,y)=4raizx,y é linear em y, temos
partial fpartial y =4raizxcdotpartialpartial y(y) =4raizxcdot1 =4raizx

Resposta

O gradiente de f é
nabla f(x,y) =gl(2yraizx,;4raizxgr)

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