Seja f: R R a função dada por f(x)=13-2 x. Considere um retângulo com um vértice na origem, um vértice sobre o eixo y positivo, um vértice sobre o eixo x positivo, digamos em (x, 0), e o quarto vértice sobre o gráfico da função f. Seja A a função que fornece a área do retângulo em termos de x. Dê o domínio da função A. Qual é o retângulo com a maior área possível?

Passo 1

O enunciado nos dá a função fcolonRtoR definida por
f(x)=13-2x
e pede para construirmos um retângulo de lados paralelos aos eixos tais que um vértice esteja na origem (0,0), outro em (x,0) no eixo x, outro em (0,y) no eixo y e o último em (x,y) sobre o gráfico de f. Definimos então a área desse retângulo em função de x e buscamos (1) o domínio natural dessa função área e (2) o retângulo que maximiza essa área.

Passo 2

Como o vértice superior direito (x,y) está sobre o gráfico de f, temos
y=f(x)=13-2x
A área A do retângulo é base vezes altura, ou seja
A(x)=xcdot y = x,(13-2x) = 13x - 2x^2

Passo 3

Para o retângulo existir com “altura” positiva precisamos de
x>=0 e y=13-2x>=0
Da segunda desigualdade vem 13-2x>=0implies x<=132. Logo o domínio natural de A é
0<= x<= 132

Passo 4

Para achar o máximo de A(x)=13x-2x^2 num intervalo fechado usamos derivada:
A'(x)=13-4x,
e igualamos a zero para pontos críticos:
13-4x=0Longrightarrow x=134
Como A''(x)=-4<0, esse ponto é um máximo local e está dentro do domínio l[0,tfrac132r].

Passo 5

No ponto x=tfrac134 a altura é
y = 13-2cdot134 = 13-264 = 52-264 = 264 = 132
Assim o retângulo de maior área tem vértices
(0,0), l(tfrac134,0r), l(0,tfrac132r) e l(tfrac134,tfrac132r), com área máxima
Al(tfrac134r) =13cdot134 - 2l(134r)^2 =1694-2cdot16916 =1694-1698 =1698

Resposta

O domínio de A é
0<= x<= 132
O retângulo de maior área ocorre em x=tfrac134, com altura y=tfrac132 e área máxima Amax=tfrac1698.

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