Seja
a função dada por
. Considere um retângulo com um vértice na origem, um vértice sobre o eixo
positivo, um vértice sobre o eixo
positivo, digamos em
, e o quarto vértice sobre o gráfico da função
. Seja
a função que fornece a área do retângulo em termos de
. Dê o domínio da função
. Qual é o retângulo com a maior área possível?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
e pede para construirmos um retângulo de lados paralelos aos eixos tais que um vértice esteja na origem
, outro em
no eixo
, outro em
no eixo
e o último em
sobre o gráfico de
. Definimos então a área desse retângulo em função de
e buscamos (1) o domínio natural dessa função área e (2) o retângulo que maximiza essa área.
Passo 2
Como o vértice superior direito
está sobre o gráfico de
, temos
A área
do retângulo é base vezes altura, ou seja
Passo 3
Para o retângulo existir com “altura” positiva precisamos de
Da segunda desigualdade vem
. Logo o domínio natural de
é
Passo 4
Para achar o máximo de
num intervalo fechado usamos derivada:
e igualamos a zero para pontos críticos:
Como
, esse ponto é um máximo local e está dentro do domínio
.
Passo 5
No ponto
a altura é
Assim o retângulo de maior área tem vértices
,
,
e
, com área máxima
Resposta
O domínio de
é
O retângulo de maior área ocorre em
, com altura
e área máxima
.