Calcule as derivadas parciais de f no ponto (3, \pi / 4), onde f(x, y)=\ln (x \tan y).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\ln\bigl(x\tan y\bigr)
no ponto (3,\pi/4). O conteúdo envolvido é derivação de logaritmo e regra da cadeia. Vamos usar a propriedade
\ln(ab)=\ln a+\ln b
para separar a função em termos mais simples.

Passo 2

Usando \ln(x\tan y)=\ln x+\ln(\tan y), temos
f(x,y)=\ln x+\ln\bigl(\tan y\bigr).
Isso facilita, pois a derivada parcial em x só age em \ln x e em y só em \ln(\tan y).

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln x\bigr)=\frac1x, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln(\tan y)\bigr)=0.
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\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac1x.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\ln x\bigr)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\ln(\tan y)\bigr) =\frac{1}{\tan y}\cdot\frac{d}{dy}\bigl(\tan y\bigr) =\frac{\operatorname{sec}^2 y}{\tan y}.
Podemos simplificar
\frac{\operatorname{sec}^2 y}{\tan y} =\frac{1/\cos^2 y}{\sin y/\cos y} =\frac1{\sin y\,\cos y}.

Passo 5

Avaliaremos em (x,y)=(3,\pi/4):
\frac{\partial f}{\partial x}(3,\pi/4) =\frac1{3}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(3,\pi/4) =\frac1{\sin(\pi/4)\,\cos(\pi/4)} =\frac1{\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)} =2.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(3,\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{1}{3},\quad \frac{\partial f}{\partial y}(3,\tfrac{\pi}{4})=2.

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