Em cada item, verifique que a função z é solução da equação diferencial parcial.
(b) 2 y partial^2 zpartial y^2=x partial^2 zpartial y partial x, z=x^3+2 x^2 y^2.
C1
Em cada item, determine as derivadas parciais da função f.
(a) f(x, y)=x^4 y-2 x^3 y^2.

Passo 1

Resumindo o que temos: vamos verificar que a função
z(x,y)=x^3+2x^2y^2
é solução da equação diferencial parcial de segunda ordem
2y,partial^2 zpartial y^2=x,partial^2 zpartial ypartial x
e, em seguida, calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=x^4y-2x^3y^2
. Para isso, usamos as definições de derivadas parciais: primeira ordem e depois segunda ordem para a PDE.

Passo 2

Começamos computando as derivadas parciais de primeira ordem de z. Derivando em relação a x (tratando y constante) e em relação a y (tratando x constante):
partial zpartial x=3x^2+4xy^2,
partial zpartial y=4x^2y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem necessárias. Primeiro, derivada de partial z/partial y em relação a y:
partial^2 zpartial y^2=partialpartial y(4x^2y)=4x^2
Em seguida, derivamos partial z/partial y em relação a x:
partial^2 zpartial ypartial x=partialpartial x(4x^2y)=8xy

Passo 4

Substituímos na PDE e conferimos se bate:
2ycdotpartial^2 zpartial y^2=2ycdot4x^2=8x^2y
xcdotpartial^2 zpartial ypartial x=xcdot8xy=8x^2y
Como os dois lados são iguais, a função z realmente satisfaz a equação.

Passo 5

Passando para a função f(x,y)=x^4y-2x^3y^2, lembramos que a derivada parcial em relação a x trata y como constante e vice-versa.

Passo 6

Derivando f em relação a x:
partial fpartial x=4x^3y-6x^2y^2
(aqui usamos a regra do produto e a potência).

Passo 7

Derivando f em relação a y:
partial fpartial y=x^4-4x^3y
(primeiro termo x^4y vira x^4, segundo termo -2x^3y^2 vira -4x^3y).

Resposta

A função z=x^3+2x^2y^2 satisfaz a PDE 2y,zyy=x,zyx, e para f(x,y)=x^4y-2x^3y^2 temos
fx=4x^3y-6x^2y^2 e fy=x^4-4x^3y.

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