Em cada item, verifique que a função
é solução da equação diferencial parcial.
(b)
.
C1
Em cada item, determine as derivadas parciais da função
.
(a)
.
(b)
C1
Em cada item, determine as derivadas parciais da função
(a)
Passo 1
Resumindo o que temos: vamos verificar que a função
é solução da equação diferencial parcial de segunda ordem
e, em seguida, calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
. Para isso, usamos as definições de derivadas parciais: primeira ordem e depois segunda ordem para a PDE.
Passo 2
Começamos computando as derivadas parciais de primeira ordem de
. Derivando em relação a
(tratando
constante) e em relação a
(tratando
constante):
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem necessárias. Primeiro, derivada de
em relação a
:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Substituímos na PDE e conferimos se bate:
Como os dois lados são iguais, a função
realmente satisfaz a equação.
Passo 5
Passando para a função
, lembramos que a derivada parcial em relação a
trata
como constante e vice-versa.
Passo 6
Derivando
em relação a
:
(aqui usamos a regra do produto e a potência).
Passo 7
Derivando
em relação a
:
(primeiro termo
vira
, segundo termo
vira
).
Resposta
A função
satisfaz a PDE
, e para
temos
e
.