Em cada item, determine as derivadas parciais da função f.
(e) f(x, y)=ln (x+y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente no tópico de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas em relação a uma variável enquanto tratamos a outra como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É como a derivada comum, mas focada em uma variável de cada vez. Ou seja, quando derivamos em relação a , consideramos como uma constante, e vice-versa.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de fx = ddx ln(x + y^2) = 1x + y^2 cdot ddx(x + y^2) em relação a fx = 1x + y^2 cdot 1 = 1x + y^2 , chamada de . A função é .
A derivada da função em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:
Como é constante em relação a , a derivada de é 1 e a derivada de é 0. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de fy = ddy ln(x + y^2) = 1x + y^2 cdot ddy(x + y^2) em relação a fy = 1x + y^2 cdot 2y = 2yx + y^2 , chamada de .
Usando a mesma lógica e a regra da cadeia:
Aqui, é constante em relação a , então a derivada de é 0 e a derivada de é . Assim:

Resposta

As derivadas parciais da função fx = 1x + y^2 e fy = 2yx + y^2 são:

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