Em cada item determine o domínio da função f.
(1) f(x, y)=\sqrt{x+y-1};
(2) f(x, y)=\frac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio de duas funções de duas variáveis. O domínio de f é o conjunto de todos os pontos (x,y) para os quais a expressão de f(x,y) está bem definida, isto é, não produz raiz de número negativo nem divisão por zero.

Passo 2

Para f(x,y)=\sqrt{x+y-1} precisamos que o radicando seja não negativo:
x + y - 1 \ge 0.
Isso impõe
x + y \ge 1.
Logo, o domínio da primeira função é o semiplano fechado acima da reta x+y=1.

Passo 3

Para f(x,y)=\frac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} temos duas restrições:
  1. O radicando deve ser estritamente positivo, senão a raiz não existe ou é zero no denominador.
1 - x^{2} - y^{2} > 0.
  1. Como esse valor aparece no denominador, não podemos ter raiz zero. A desigualdade acima já garante isso.
Assim, deve valer
x^{2} + y^{2} < 1,
que é o interior do disco de raio 1 centrado na origem.

Resposta

(1) \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x+y\ge1\}
(2) \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<1\}

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