(5) Calcule o comprimento da curva \gamma(t)=(1+\cos (2 t), 1-\sin (2 t), 2 t) quando t varia de 0 a \pi.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva de parâmetro t definida por \gamma(t) = \bigl(1+\cos(2t),\,1-\sin(2t),\,2t\bigr) para 0 \le t \le \pi.
O conteúdo aqui é “comprimento de arco” de uma curva no \mathbb{R}^3. Vamos usar a fórmula
L = \int_{a}^{b} \bigl\|\gamma'(t)\bigr\| \,dt
onde \|\gamma'(t)\| é a norma do vetor derivada.
Passo 2
Calcular a derivada \gamma'(t) componente a componente. Como \frac{d}{dt}\cos(2t) = -2\sin(2t), \frac{d}{dt}\sin(2t) = 2\cos(2t) e \frac{d}{dt}(2t)=2, temos