(5) Calcule o comprimento da curva \gamma(t)=(1+\cos (2 t), 1-\sin (2 t), 2 t) quando t varia de 0 a \pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva de parâmetro t definida por
\gamma(t) = \bigl(1+\cos(2t),\,1-\sin(2t),\,2t\bigr) para 0 \le t \le \pi.
O conteúdo aqui é “comprimento de arco” de uma curva no \mathbb{R}^3. Vamos usar a fórmula
L = \int_{a}^{b} \bigl\|\gamma'(t)\bigr\| \,dt
onde \|\gamma'(t)\| é a norma do vetor derivada.

Passo 2

Calcular a derivada \gamma'(t) componente a componente. Como \frac{d}{dt}\cos(2t) = -2\sin(2t), \frac{d}{dt}\sin(2t) = 2\cos(2t) e \frac{d}{dt}(2t)=2, temos
\gamma'(t) = \bigl(-2\sin(2t),\,-2\cos(2t),\,2\bigr).

Passo 3

Determinar a norma \|\gamma'(t)\|.
\|\gamma'(t)\| = \sqrt{\bigl(-2\sin(2t)\bigr)^2 + \bigl(-2\cos(2t)\bigr)^2 + 2^2} = \sqrt{4\sin^2(2t) + 4\cos^2(2t) + 4} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
Note que a norma é constante.

Passo 4

Agora basta integrar de 0 a \pi:
L = \int_{0}^{\pi} 2\sqrt{2}\;dt = 2\sqrt{2}\,\bigl[t\bigr]_{0}^{\pi} = 2\sqrt{2}\,\pi.

Resposta

O comprimento da curva é 2\sqrt{2}\,\pi.

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