Resolva as seguintes equações:
(Yunus e William, 2014)
\left(1-t^{2}\right) \dot{y}-2 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(1 - t^{2})\,\dot y \;-\;2\,y \;=\;0,
que é homogênea e linear em y. Podemos resolvê-la por separação de variáveis ou usando fator integrante. Aqui vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma separável, isolando \dot y:
(1 - t^{2})\,\dot y = 2\,y \quad\Longrightarrow\quad \dot y = \frac{2}{1 - t^{2}}\,y.

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e t:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dt} = \frac{2}{1 - t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y} = \frac{2}{1 - t^{2}}\,dt.

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo temos
\int \frac{dy}{y} = \ln\bigl|y\bigr|.
No lado direito, decompomos em frações parciais:
\frac{2}{1 - t^{2}} = \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t},
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\int \frac{2}{1 - t^{2}}\,dt = \int \frac{1}{1 - t}\,dt \;+\;\int \frac{1}{1 + t}\,dt = -\ln\bigl|1 - t\bigr| + \ln\bigl|1 + t\bigr|.

Passo 5

Juntando as integrais e adicionando a constante de integração C_{1}:
\ln\bigl|y\bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{1 + t}{1 - t}\Bigr| + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|y\bigr| - \ln\!\Bigl|\frac{1 + t}{1 - t}\Bigr| = C_{1}
\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl|\frac{y\,(1 - t)}{1 + t}\Bigr| = C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y\,(1 - t)}{1 + t} = C,
onde C = e^{C_{1}} é constante genérica.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(t) = C\,\frac{1 + t}{1 - t},}
com C constante de integração e domínio t\neq \pm 1.

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