Resolva as seguintes equações:
(Yunus e William, 2014)
\dot{y}-3 t y=2 t ;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\dot{y} - 3\,t\,y = 2\,t.
Aqui o conteúdo é a técnica do fator integrante para equações da forma
\dot{y} + P(t)\,y = Q(t),
onde, no nosso caso, P(t) = -3t e Q(t)=2t.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t) = \exp\!\biggl(\int P(t)\,\mathrm{d}t\biggr) = \exp\!\biggl(\int -3t\,\mathrm{d}t\biggr) = \exp\!\bigl(-\tfrac{3}{2}t^2\bigr).

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação original por \mu(t):
\exp\!\bigl(-\tfrac{3}{2}t^2\bigr)\,\dot{y} -3t\,\exp\!\bigl(-\tfrac{3}{2}t^2\bigr)\,y =2t\,\exp\!\bigl(-\tfrac{3}{2}t^2\bigr).
O lado esquerdo agora é a derivada de \,y\,\exp\!\bigl(-\tfrac{3}{2}t^2\bigr).

Passo 4

Escrevemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[y\,e^{-\tfrac{3}{2}t^2}\bigr] =2t\,e^{-\tfrac{3}{2}t^2}.
Integramos em t:
y\,e^{-\tfrac{3}{2}t^2} =\int 2t\,e^{-\tfrac{3}{2}t^2}\,\mathrm{d}t + C.
Para calcular a integral, fazemos u=-\tfrac{3}{2}t^2, de modo que \mathrm{d}u=-3t\,\mathrm{d}t e t\,\mathrm{d}t=-\tfrac{1}{3}\mathrm{d}u.
Portanto,
\int 2t\,e^{-\tfrac{3}{2}t^2}\,\mathrm{d}t =2\!\int t\,e^{u}\,\bigl(-\tfrac{1}{3}\mathrm{d}u\bigr) =-\tfrac{2}{3}e^{u}+C_1 =-\tfrac{2}{3}e^{-\tfrac{3}{2}t^2}+C_1.

Passo 5

Voltando para y, temos
y\,e^{-\tfrac{3}{2}t^2} =-\tfrac{2}{3}e^{-\tfrac{3}{2}t^2}+C_1.
Multiplicando por e^{\tfrac{3}{2}t^2}, obtemos a solução geral
y(t) = -\tfrac{2}{3} + C\,e^{\tfrac{3}{2}t^2},
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\boxed{y(t) = C\,e^{\tfrac{3}{2}t^2} - \tfrac{2}{3},}
com C\in\mathbb{R}.

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