Verifique que a família de funções indicadas é uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição
apropriado de cada solução.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a família de funções
satisfaz a equação diferencial
O método é calcular
e
e substituir na equação, verificando que o resultado é zero para todo
em um intervalo
.
Passo 2
Calcular
e
.
Como
Como
aplicamos a regra do produto em
. Primeiro:
Agrupando fatores em
:
Agora derivamos novamente:
Reagrupando:
Passo 3
Substituir
,
e
em
Temos
Passo 4
Fatorando
e somando coeficientes:
Dentro dos colchetes cada termo se anula:
Logo
em todo
.
Resposta
A família
é, de fato, a solução geral da equação
em qualquer intervalo
.