Verifique que a família de funções indicadas é uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição I apropriado de cada solução.
d^2 yd x^2-4 d yd x+4 y=0 ; y=c1 e^2 x+c2 x e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a família de funções
y = c1e^2x + c2x e^2x
satisfaz a equação diferencial
d^2ydx^2 - 4dydx + 4y = 0
O método é calcular y' e y'' e substituir na equação, verificando que o resultado é zero para todo x em um intervalo IsubseteqR.

Passo 2

Calcular y' e y''.
Como
y = c1e^2x + c2,x,e^2x,
aplicamos a regra do produto em c2x e^2x. Primeiro:
y' = ddxl(c1e^2xr) + ddxl(c2x e^2xr) = 2c1e^2x + c2l(e^2x + 2x e^2xr)
Agrupando fatores em e^2x:
y' = l(2c1 + c2 + 2c2xr)e^2x
Agora derivamos novamente:
y'' = ddxl[(2c1 + c2 + 2c2x)e^2xr] = 2c2e^2x + (2c1 + c2 + 2c2x)cdot 2e^2x
Reagrupando:
y'' = l(2c2 + 4c1 + 2c2 + 4c2xr)e^2x = l(4c1 + 4c2 + 4c2xr)e^2x

Passo 3

Substituir y, y' e y'' em
L[y] = y'' - 4y' + 4y
Temos
L[y] = l(4c1 + 4c2 + 4c2xr)e^2x -4l(2c1 + c2 + 2c2xr)e^2x +4l(c1 + c2xr)e^2x

Passo 4

Fatorando e^2x e somando coeficientes:
L[y] = l[4c1+4c2+4c2x -8c1-4c2-8c2x +4c1+4c2xr]e^2x
Dentro dos colchetes cada termo se anula:
4c1-8c1+4c1 = 0, 4c2-4c2=0, 4c2x-8c2x+4c2x=0
Logo
L[y]=0cdot e^2x=0
em todo x.

Resposta

A família
y = c1e^2x + c2x e^2x
é, de fato, a solução geral da equação
d^2ydx^2 - 4dydx + 4y = 0
em qualquer intervalo IsubseteqR.

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