Em cada item, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, encontre a solução.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para determinar se a equação dada é exata e, se for, encontrar a solução. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, então vamos precisar saber como identificar se uma equação é exata e, se for o caso, como encontrar a solução usando essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata. A equação que temos é:
Podemos colocar isso na forma
, ficando:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Em seguida, calculamos
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Para que a equação seja exata, essas duas derivadas devem ser iguais. Claramente,
não é igual a
. Portanto, a equação diferencial dada não é exata.
Resposta
A equação diferencial não é exata.