Em cada item, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, encontre a solução.
1x^3+e^yx+(e^y+1x y) y^prime=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para determinar se a equação dada é exata e, se for, encontrar a solução. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, então vamos precisar saber como identificar se uma equação é exata e, se for o caso, como encontrar a solução usando essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata. A equação que temos é:
1x^3 + e^yx + (e^y + 1x y) dydx = 0
Podemos colocar isso na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 , ficando:
( 1x^3 + e^yx ) dx + ( e^y + 1x y ) dy = 0
Aqui, identificamos:
  • M(x, y) = 1x^3 + e^yx
  • N(x, y) = e^y + 1x y

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x .
Primeiro, calculamos partial Mpartial y :
partial Mpartial y = partialpartial y ( 1x^3 + e^yx ) = e^yx

Passo 4

Em seguida, calculamos partial Npartial x :
partial Npartial x = partialpartial x ( e^y + 1x y ) = -1x^2 y

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = e^yx e partial Npartial x = -1x^2 y
Para que a equação seja exata, essas duas derivadas devem ser iguais. Claramente, e^yx não é igual a -1x^2 y . Portanto, a equação diferencial dada não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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