1. Seja f uma função definida em R tal que para todo x neq 1, -x^2+3 x <= f(x)<x^2-1x-1. Calcule lim x 1 f(x) e justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma função f em R tal que, para todo xneq1,
-x^2 + 3x ;<=; f(x) ;<;x^2-1x-1
e pede limxto1f(x). O conteúdo é o Teorema do Confronto (Sanduíche), pois f(x) está “espremida” entre duas funções cujos limites em x=1 podemos calcular.

Passo 2

Simplificamos a função que aparece no limite superior. Para xneq1,
x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1

Passo 3

Calculamos os limites das funções que envolvem f(x):
limxto1l(-x^2+3xr)=-(1)^2+3cdot1=2,
limxto1(x+1)=1+1=2

Passo 4

Como para xneq1 vale
-x^2+3x ;<=; f(x) ;<; x+1
e as duas funções extremas têm limite 2 em x=1, pelo Teorema do Confronto segue
limxto1f(x)=2

Resposta

2

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