Em cada item, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, encontre a solução.
\left(e^{x} \operatorname{sen} y-2 y \operatorname{sen} x\right)+\left(e^{x} \cos y+2 \cos x\right) \frac{d y}{d x}=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(e^{x}\sin y - 2y\sin x\bigr) + \bigl(e^{x}\cos y + 2\cos x\bigr)\frac{dy}{dx}=0,
que podemos escrever no formato
M(x,y) + N(x,y)\,\frac{dy}{dx}=0
com
M(x,y)=e^{x}\sin y - 2y\sin x, \quad N(x,y)=e^{x}\cos y + 2\cos x.
O conteúdo aqui é equação exata: ela é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x}\cos y \;-\;2\sin x,
\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}\cos y \;-\;2\sin x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\phi_x = M e \phi_y = N.
Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \bigl(e^{x}\sin y - 2y\sin x\bigr)\,dx = e^{x}\sin y + 2y\cos x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y)$, derivamos \(\varphi em relação a y e igualamos a N:
\phi_y = e^{x}\cos y + 2\cos x + h'(y) \stackrel{!}{=} e^{x}\cos y + 2\cos x.
Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante.)

Resposta

A solução implícita geral é
e^{x}\sin y + 2y\cos x = C,
com C constante.

Exercícios relacionados