Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da razão é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)}.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se o teste da razão é aplicável à série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}.
O conteúdo principal é o teste da razão para séries numéricas.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}.
O teste da razão analisa
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos. Observe que
a_{n+1} = \frac{1\cdot3\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)}{2\cdot4\cdots(2n)\cdot(2n+2)} \quad\text{e}\quad a_n = \frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)}.
Logo,
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n+1}{2n+2}.

Passo 4

Tomamos o limite dessa razão quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n+2} = 1.

Passo 5

Como L=1, o teste da razão fica inconclusivo: ele não garante nem convergência nem divergência.

Resposta

O teste da razão é inconclusivo (não aplicável), pois \lim_{n\to\infty}a_{n+1}/a_n=1.

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