Luestāo 5: A solução do problema de valor inicial y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{-t}+5 \delta_{2}(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 é:
a. e^{-t} \sin t+e^{-t}-e^{-t} \cos t+5 e^{t-2} u_{2}(t) \sin (t-2)
b. e^{-t} \sin t+e^{-t}+e^{-t} \cos t+5 e^{-(t-2)} u_{2}(t) \sin (t-2)
c. e^{-t} \sin t=e^{-t}-e^{-t} \cos t+5 e^{-(t-2)} u_{2}(t) \sin (t-2)
d. e^{-t} \sin t+e^{-t}-e^{-t} \cos t-5 e^{t-2} u_{2}(t) \sin (t-2)
e. e^{-t} \sin t+e^{-t}-e^{-t} \cos t+5 e^{-(t-2)} u_{2}(t) \sin (t-2)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 2y = e^{-t} + 5\,\delta_{2}(t), \quad y(0)=0,\;y'(0)=1,
que é um EDO linear com coeficientes constantes, forçado por uma função contínua e^{-t} e por um impulso de intensidade 5 em t=2. Precisamos encontrar a solução para t<2 usando a soma da solução homogênea e de uma particular, aplicar as condições iniciais para determinar constantes, e depois somar o efeito do impulso via a resposta ao impulso deslocada.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução homogênea de
y'' + 2y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; r = -1 \pm i,
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y_h(t) = e^{-t}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr).
Para uma particular de
y'' + 2y' + 2y = e^{-t},
testamos y_p = a\,e^{-t}. Substituindo,
y_p' = -a\,e^{-t},\quad y_p'' = a\,e^{-t},
L[y_p]=a\,e^{-t}-2a\,e^{-t}+2a\,e^{-t}=a\,e^{-t}.
Para ter L[y_p]=e^{-t} basta a=1. Assim
y_p(t)=e^{-t}.
Portanto, para t<2,
y_1(t) = e^{-t}(A\cos t + B\sin t) + e^{-t}.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais em t=0:
y_1(0)=A + 0 + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; A=-1.
Calculamos
y_1'(t) = e^{-t}\bigl[-(A\cos t + B\sin t)+(-A\sin t + B\cos t)\bigr]\,-e^{-t}.
Em t=0:
y_1'(0)= -A + B -1 = 1 \;\Longrightarrow\; -(-1)+B-1=1 \;\Longrightarrow\; B=1.
Logo, para t<2:
y_1(t) = e^{-t}\bigl(-\cos t + \sin t\bigr) + e^{-t} = e^{-t}\sin t + e^{-t} - e^{-t}\cos t.

Passo 4

O impulso 5\,\delta_{2}(t) adiciona, para t>2, o termo
5\;h(t-2)\,u_{2}(t),
onde h(t) é a resposta ao impulso do sistema homogêneo \;y''+2y'+2y=0. Sabe-se que
h(t)=e^{-t}\sin t\;u(t).
Então o acréscimo é
5\,e^{-(t-2)}\sin(t-2)\,u_{2}(t).

Passo 5

Juntando tudo:
y(t) = e^{-t}\sin t + e^{-t} - e^{-t}\cos t + 5\,e^{-(t-2)}\sin(t-2)\,u_{2}(t).

Resposta

e. e^{-t}\sin t + e^{-t} - e^{-t}\cos t + 5\,e^{-(t-2)}u_{2}(t)\sin(t-2)

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