Seja
a região limitada pelas curvas
e
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Calcule a área da região
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Calcule a área da região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região $ R $ que está limitada pelas curvas $ y = x^3 $ e $ y = x $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente, integrais que nos ajudam a encontrar a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso é importante porque esses pontos vão determinar os limites de onde vamos calcular a área.
Para encontrar a interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual função está acima da outra em cada intervalo para saber como configurar a integral.
Vamos analisar um valor de $ x $ em cada intervalo:
-
Para $ x $ entre -1 e 0: Escolha $ x = -0.5 $Aqui, $ y = x $ está abaixo de $ y = x^3 $ porque
. -
Para $ x $ entre 0 e 1: Escolha $ x = 0.5 $Aqui, $ y = x $ está acima de $ y = x^3 $ porque
.
Passo 4
Com essa informação, podemos dividir a área total em dois segmentos e calcular cada um separadamente:
-
De $ x = -1 $ a $ x = 0 $:
- $ y = x^3 $ está acima de $ y = x $.
- A área é dada por:
-
De $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
- $ y = x $ está acima de $ y = x^3 $.
- A área é dada por:
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral:
Calculando nos limites:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Calculando nos limites:
Passo 7
Finalmente, somamos as duas áreas calculadas:
Resposta
A área da região $ R $ limitada pelas curvas $ y = x^3 $ e $ y = x $ é
unidades de área.