Seja R a região limitada pelas curvas y=x^3 e y=x.
Calcule a área da região R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região $ R $ que está limitada pelas curvas $ y = x^3 $ e $ y = x $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente, integrais que nos ajudam a encontrar a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso é importante porque esses pontos vão determinar os limites de onde vamos calcular a área.
Para encontrar a interseção, igualamos as duas equações:
x^3 = x
Resolvendo essa equação:
x^3 - x = 0 x(x^2 - 1) = 0 x = 0 ou x^2 - 1 = 0 x = 0 ou x = pm 1
Então, as curvas se intersectam nos pontos $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual função está acima da outra em cada intervalo para saber como configurar a integral.
Vamos analisar um valor de $ x $ em cada intervalo:
  • Para $ x $ entre -1 e 0: Escolha $ x = -0.5 $
    x
    Aqui, $ y = x $ está abaixo de $ y = x^3 $ porque x .
  • Para $ x $ entre 0 e 1: Escolha $ x = 0.5 $
    x = -0.5
    Aqui, $ y = x $ está acima de $ y = x^3 $ porque y = (-0.5)^3 = -0.125 y = -0.5 .

Passo 4

Com essa informação, podemos dividir a área total em dois segmentos e calcular cada um separadamente:
  1. De $ x = -1 $ a $ x = 0 $:
    • $ y = x^3 $ está acima de $ y = x $.
    • A área é dada por: x = -1
  2. De $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
    • $ y = x $ está acima de $ y = x^3 $.
    • A área é dada por: x = 0

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral:
integral-1^0 (x^3 - x) , dx = [ 14x^4 - 12x^2 ]-1^0
Calculando nos limites:
( 14(0)^4 - 12(0)^2 ) - ( 14(-1)^4 - 12(-1)^2 ) = (0 - 0) - ( 14 - 12 ) = 0 - ( -14 ) = 14

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^1 (x - x^3) , dx = [ 12x^2 - 14x^4 ]0^1
Calculando nos limites:
( 12(1)^2 - 14(1)^4 ) - ( 12(0)^2 - 14(0)^4 ) = ( 12 - 14 ) - (0 - 0) = 14

Passo 7

Finalmente, somamos as duas áreas calculadas:
Área total = 14 + 14 = 12 Á

Resposta

A área da região $ R $ limitada pelas curvas $ y = x^3 $ e $ y = x $ é R unidades de área.

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