Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) O plano tangente;
cos pi x-x^2 y+e^x z+y z=4, P0(0,1,2)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície definida implicitamente por
cos(pi x)-x^2y+e^x z+y z=4
no ponto P0(0,1,2).
Conteúdo: vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente de
F(x,y,z)=cos(pi x)-x^2y+e^x z+y z-4
e então aplicar a fórmula do plano tangente
nabla F(P0)cdotl((x,y,z)-P0r)=0

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de F:
Fx=partialpartial xl[cos(pi x)r] +partialpartial xl[-x^2yr] +partialpartial xl[e^x zr] +partialpartial xl[y z-4r]
Aplicando regra da cadeia, produto e exponencial:
Fx=-pisin(pi x)-2xy+z,e^x z,
Fy=-x^2+z,
Fz=x,e^x z+y

Passo 3

Avaliar essas derivadas em P0(0,1,2):
sin(picdot0)=0, e^0cdot2=1. Logo
Fx(0,1,2)=-picdot0-2cdot0cdot1+2cdot1=2,
Fy(0,1,2)=-0^2+2=2,
Fz(0,1,2)=0cdot1+1=1

Passo 4

O plano tangente fica
Fx(0,1,2),(x-0)+Fy(0,1,2),(y-1)+Fz(0,1,2),(z-2)=0,
ou seja
2(x-0)+2(y-1)+1,(z-2)=0
Simplificando:
2x+2y+z-4=0

Resposta

A equação do plano tangente é
2x+2y+z-4=0

Exercícios relacionados