Em cada item, determine o gradiente da função f no ponto P. Sugestão. Use o exercício anterior.
(b) f(x, y)=x raizy, P=(2,4).

Passo 1

A função é f(x,y)=x√y e o ponto é P=(2,4). O conteúdo aqui é gradiente de funções de duas variáveis, então vamos precisar usar a definição de derivadas parciais e depois formar o vetor gradiente.

Passo 2

Para achar ∂f/∂x, tratamos y como constante. Como f(x,y)=x·y^{1/2}, temos
partial fpartial x=y^1/2

Passo 3

Para achar ∂f/∂y, tratamos x como constante. A derivada de y^{1/2} é 1/(2y^{1/2}), logo
partial fpartial y=xcdot12y^1/2=x2raizy

Passo 4

Agora avaliamos em P=(2,4). Como √4=2, temos ∂f/∂x|{P}=2 e ∂f/∂y|{P}=2/(2·2)=1/2.

Passo 5

Formamos então o vetor gradiente no ponto P: ∇f(2,4)=(2,1/2).

Resposta

nabla f(2,4)=(2,tfrac12)

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