Considere a sequencia de funções contínuas fn:[0,1] R definida por
fn(x)=l 2 n^2 x, 0 <= x <= 12 n 2 n-2 n^2 x, 12 n <= x <= 1n 0, 1n <= x <= 1
Conclua que
lim n infty integral0^1 fn(x) d x neq integral0^1 lim n infty fn(x) d x=0

Passo 1

Temos uma sequência de funções contínuas fn:[0,1]to R definidas por partes em três intervalos. O que queremos mostrar é que, embora fn(x)to0 ponto a ponto, a integral integral0^1 fn(x),dx não tende a zero. Para isso, vamos usar conceitos de convergência pontual e cálculo de integrais de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o limite pontual f(x)=limntoinftyfn(x). Se x>0 for fixo, para n>1/x teremos x>1/n, logo fn(x)=0. E em x=0 vale fn(0)=0 para todo n. Assim
f(x)=0para todo xin[0,1]

Passo 3

Agora, vamos calcular In=integral0^1 fn(x),dx. Como fn é dada por partes, separamos em duas integrais não nulas (já que em [1/n,1] a função é zero):
$$I_n=\int_{0}{1/(2n)}2n2x,dx;+
;\int_{1/(2n)}{1/n}\bigl(2n-2n2x\bigr),dx.$$

Passo 4

Cálculo do primeiro termo:
integral0^1/(2n)2n^2x,dx=2n^2cdotx^22|0^1/(2n)=n^2cdot14n^2=tfrac14

Passo 5

Cálculo do segundo termo:
integral1/(2n)^1/n(2n-2n^2x),dx= l[2n x -n^2x^2r]1/(2n)^1/n= l(2ncdottfrac1n -n^2cdottfrac1n^2r)-l(2ncdottfrac12n-n^2cdottfrac14n^2r)=tfrac14

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos
In=tfrac14+tfrac14=tfrac12

Passo 7

Portanto limntoinftyintegral0^1fn(x),dx=tfrac12, mas como f(x)equiv0,
integral0^1limntoinftyfn(x),dx=integral0^1 0,dx=0

Passo 8

Isso mostra que a troca de limite e integral não vale neste caso, pois tfrac12neq0.

Resposta

limntoinftyintegral0^1fn(x),dx=tfrac12neq0=integral0^1limntoinftyfn(x),dx

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