Considere a sequencia de funções contínuas definida por
Conclua que
lim n infty integral0^1 fn(x) d x neq integral0^1 lim n infty fn(x) d x=0
Passo 1
Temos uma sequência de funções contínuas fn:[0,1]to R definidas por partes em três intervalos. O que queremos mostrar é que, embora fn(x)to0 ponto a ponto, a integral integral0^1 fn(x),dx não tende a zero. Para isso, vamos usar conceitos de convergência pontual e cálculo de integrais de funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o limite pontual f(x)=limntoinftyfn(x). Se x>0 for fixo, para n>1/x teremos x>1/n, logo fn(x)=0. E em x=0 vale fn(0)=0 para todo n. Assim
f(x)=0para todo xin[0,1]
Passo 3
Agora, vamos calcular In=integral0^1 fn(x),dx. Como fn é dada por partes, separamos em duas integrais não nulas (já que em [1/n,1] a função é zero):