Considere a sequência de funções
no intervalo
.
Mostre que
não converge uniformemente para
no intervalo
.
Mostre que
Passo 1
Temos a sequência de funções
em
. O conteúdo é convergência uniforme de funções e vamos precisar calcular o limite pontual e a norma do supremo (sup) de
.
Passo 2
Primeiro, achamos o limite pontual
. Para
,
e
. Em
,
. Logo, o limite pontual é
em todo
.
Passo 3
Para verificar convergência uniforme, calculamos
.
Definimos . Nos extremos do intervalo,
e
. Para achar máximo interno, derivamos:
Definimos
Passo 4
Igualando
vem
, isto é
e portanto
. Avaliamo-lo em
:
Passo 5
Portanto
para todo
. Como essa quantidade não tende a zero, a convergência não é uniforme.
Resposta
A sequência
não converge uniformemente para
em
, pois
não tende a zero.