Considere a sequência de funções fn(x)=x^n-x^2 n no intervalo [0,1].
Mostre que (fn) não converge uniformemente para f no intervalo [0,1].

Passo 1

Temos a sequência de funções fn(x)=x^n-x^2n em [0,1]. O conteúdo é convergência uniforme de funções e vamos precisar calcular o limite pontual e a norma do supremo (sup) de |fn(x)-f(x)|.

Passo 2

Primeiro, achamos o limite pontual f(x) = limntoinftyfn(x). Para 0<= x<1, x^nto0 e x^2nto0. Em x=1, 1^n-1^2n=0. Logo, o limite pontual é f(x)=0 em todo [0,1].

Passo 3

Para verificar convergência uniforme, calculamos supxin[0,1]|fn(x)-f(x)|=supxin[0,1](x^n-x^2n).
Definimos g(x)=x^n-x^2n. Nos extremos do intervalo, g(0)=0 e g(1)=0. Para achar máximo interno, derivamos:
g'(x)=n x^n-1-2n x^2n-1=n x^n-1(1-2x^n)

Passo 4

Igualando g'(x)=0 vem 1-2x^n=0, isto é x^n=tfrac12 e portanto x=(1/2)^1/n. Avaliamo-lo em x=(1/2)^1/n:
gl((1/2)^1/nr)=(1/2)-(1/2)^2=1/4

Passo 5

Portanto supxin[0,1](x^n-x^2n)=1/4 para todo n. Como essa quantidade não tende a zero, a convergência não é uniforme.

Resposta

A sequência fn não converge uniformemente para f em [0,1], pois supxin[0,1]|fn(x)-f(x)|=1/4 não tende a zero.

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