Determine se a série geométrica é convergente ou divergente.
Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{6^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{6^{n-1}}
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular sua soma. Estamos lidando com uma série geométrica, cujo comportamento depende do valor da razão.

Passo 2

Vamos reescrever a série na forma padrão de uma geométrica:
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}.
Aqui temos
a = 7 \quad\text{e}\quad r = \frac{1}{6}\,,
pois \tfrac{7}{6^{n-1}} = 7\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{n-1}.

Passo 3

O critério de convergência para série geométrica é \lvert r\rvert<1. Como
\bigl\lvert\tfrac{1}{6}\bigr\rvert = \tfrac{1}{6} < 1,
a série converge.

Passo 4

Para |r|<1, a soma da série geométrica é dada por
S = \frac{a}{1 - r}.

Passo 5

Substituindo a=7 e r=\tfrac{1}{6}, obtemos
S = \frac{7}{1 - \tfrac{1}{6}} = \frac{7}{\tfrac{5}{6}} = 7\cdot \frac{6}{5} = \frac{42}{5}.

Resposta

A série é convergente e sua soma é \displaystyle \frac{42}{5}.

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