Determine se a série geométrica é convergente ou divergente.
Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{6^{n-1}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{6^{n-1}}
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular sua soma. Estamos lidando com uma série geométrica, cujo comportamento depende do valor da razão.
Passo 2
Vamos reescrever a série na forma padrão de uma geométrica:
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}.
Aqui temos
a = 7 \quad\text{e}\quad r = \frac{1}{6}\,,
pois \tfrac{7}{6^{n-1}} = 7\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{n-1}.
Passo 3
O critério de convergência para série geométrica é \lvert r\rvert<1. Como