Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função
na região R. Sugestão. Parte do trabalho já foi feito no exercício C1.
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos da função
no disco fechado
O conteúdo aqui é otimização de função de duas variáveis em região compacta: buscamos pontos críticos no interior (onde
) e depois analisamos a fronteira.
Passo 2
Calculamos o gradiente e achamos o ponto crítico interno:
Igualando a zero dá
Esse ponto
está no interior de
pois
.
Passo 3
Avaliamo-s
nesse ponto:
Passo 4
Na fronteira temos
. Parametrizamos por
Então
Simplificando,
Passo 5
Com
, define-mos
Derivando em
e igualando a zero,
Comparando valores em
:
Logo o m’aximo de
na fronteira 'e
(em
) e o m’inimo 'e
(em
).
Passo 6
Agora comparamos: no interior achamos
, na fronteira o menor valor foi
e o maior
. Assim o mínimo absoluto é
em
e o máximo absoluto é
, que ocorre na fronteira onde
, isto é em
Resposta
O mínimo absoluto vale
em
.
O máximo absoluto vale em
e em
.
O máximo absoluto vale