Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função f na região R. Sugestão. Parte do trabalho já foi feito no exercício C1.
f(x, y)=2 x^{2}+3 y^{2}-4 x-5, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 16\right\}.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos da função
f(x,y)=2x^{2}+3y^{2}-4x-5
no disco fechado
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le16\}.
O conteúdo aqui é otimização de função de duas variáveis em região compacta: buscamos pontos críticos no interior (onde \nabla f=0) e depois analisamos a fronteira.

Passo 2

Calculamos o gradiente e achamos o ponto crítico interno:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x-4,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=6y.
Igualando a zero dá
4x-4=0\implies x=1,\quad 6y=0\implies y=0.
Esse ponto (1,0) está no interior de R pois 1^{2}+0^{2}=1<16.

Passo 3

Avaliamo-s f nesse ponto:
f(1,0)=2\cdot1^{2}+3\cdot0^{2}-4\cdot1-5=2-4-5=-7.

Passo 4

Na fronteira temos x^{2}+y^{2}=16. Parametrizamos por
x=4\cos t,\quad y=4\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Então
g(t)=f(4\cos t,4\sin t) =2\,(4\cos t)^{2}+3\,(4\sin t)^{2}-4\,(4\cos t)-5.
Simplificando,
g(t)=32\cos^{2}t+48\sin^{2}t-16\cos t-5 =43-16\bigl(\cos^{2}t+\cos t\bigr).

Passo 5

Com u=\cos t\in[-1,1], define-mos
h(u)=-16(u^{2}+u)+43.
Derivando em u e igualando a zero,
h'(u)=-16(2u+1)=0\implies u=-\tfrac12.
Comparando valores em u=-1,\,u=-\tfrac12,\,u=1:
h(-1)=43,\quad h\bigl(-\tfrac12\bigr)=47,\quad h(1)=11.
Logo o m’aximo de g na fronteira 'e 47 (em \cos t=-\tfrac12) e o m’inimo 'e 11 (em \cos t=1).

Passo 6

Agora comparamos: no interior achamos f(1,0)=-7, na fronteira o menor valor foi 11 e o maior 47. Assim o mínimo absoluto é -7 em (1,0) e o máximo absoluto é 47, que ocorre na fronteira onde \cos t=-\tfrac12, isto é em
(x,y)=\bigl(-2,\,\pm2\sqrt3\bigr).

Resposta

O mínimo absoluto vale -7 em (1,0).
O máximo absoluto vale 47 em \bigl(-2,2\sqrt3\bigr) e em \bigl(-2,-2\sqrt3\bigr).

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