Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n x^{n}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}n\,x^{n}}{\sqrt{n}}.
O conteúdo é séries de potências, e vamos precisar usar o Teste da Razão para o raio de convergência e depois testar os extremos x=\pm1.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão à sequência geral
a_n = \frac{(-1)^{n}n\,x^{n}}{\sqrt{n}} = (-1)^n\sqrt{n}\,x^n.
Calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \biggl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\biggr| = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+1}\,\lvert x\rvert^{\,n+1}}{\sqrt{n}\,\lvert x\rvert^n} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n}}\;\lvert x\rvert = \lvert x\rvert.

Passo 3

Pelo Teste da Razão, a série converge se L<1. Logo
\lvert x\rvert<1
e o raio de convergência é
\boxed{R = 1}.

Passo 4

Testamos o extremo x=1. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\sqrt{n}.
Como \sqrt{n}\not\to0, o termo geral não tende a zero, então a série dá diverge em x=1.

Passo 5

Testamos o extremo x=-1. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\sqrt{n}\,(-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}.
Aqui o termo geral \sqrt{n} também não tende a zero, logo a série dá diverge em x=-1.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(-1,1).

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