Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas: (1) a ordem da EDO; (2) o grau da EDO; (3) se a equação é linear ou não-linear. As informações relevantes são justamente os termos que aparecem: a derivada
, a função dependente
ao quadrado (isto é,
) e o coeficiente
que depende apenas da variável independente.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “ordem” de uma EDO. Ordem é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- A equação
tem ordem porque aparece . - A equação
tem ordem porque a maior derivada presente é .
Na nossa equação a maior derivada presente é
(derivada de primeira ordem) e não aparecem derivadas de ordem superior. Portanto a ordem é
Passo 3
Agora o que é “grau” de uma EDO. O grau é o expoente do(s) termo(s) que envolvem a maior derivada, depois que a equação foi escrita de forma polinomial em todas as derivadas (isto é, sem radicais, frações onde apareça a derivada no denominador, funções transcendentais das derivadas etc.). Exemplos para distinguir:
- Em
a ordem é e o grau é . - Em
o grau é indefinido porque a derivada aparece dentro de uma função trigonométrica (não é polinomial).
No nosso caso a equação já está em forma polinomial em relação à derivada
: ela aparece apenas na primeira potência e não está dentro de nenhuma função. Escrevendo explicitamente:
A maior derivada
aparece elevada à potência
. Assim o grau é
Passo 4
Agora vamos definir “linearidade” (se a EDO é linear ou não-linear). Uma equação diferencial é linear em
(e suas derivadas) se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo não-homogêneo
dependem apenas de
, e nenhuma potência ou produto não-linear envolvendo
ou suas derivadas aparece (por exemplo não podem aparecer
,
,
, etc.). Exemplos:
-
é linear. -
não é linear, pois tem .
Passo 5
Aplicando essa definição à nossa equação:
o termo
contém
elevado ao quadrado. Isso é uma não-linearidade em
(o coeficiente
depende só de
, mas o produto envolve
). Portanto a equação não pode ser escrita na forma linear padrão (porque há um
). Conclusão: a equação é não-linear.
Como comentário didático extra (para você fixar): essa equação é um caso particular da equação de Bernoulli,
com
,
e
. Bernoulli é uma classe de equações não-lineares que, via mudança de variável adequada, podem ser reduzidas a uma linear — é uma técnica útil na prova, mas aqui só precisava identificar as propriedades.
Resposta
Ordem:
Grau:
Classificação: não-linear
Grau:
Classificação: não-linear