Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
\frac{d y}{d x}+x y^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+x\,y^{2}=0
e pede três coisas: (1) a ordem da EDO; (2) o grau da EDO; (3) se a equação é linear ou não-linear. As informações relevantes são justamente os termos que aparecem: a derivada \frac{dy}{dx}, a função dependente y ao quadrado (isto é, y^{2}) e o coeficiente x que depende apenas da variável independente.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “ordem” de uma EDO. Ordem é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • A equação \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+3\frac{dy}{dx}-y=0 tem ordem 2 porque aparece \frac{d^{2}y}{dx^{2}}.
  • A equação \frac{dy}{dx}+y=0 tem ordem 1 porque a maior derivada presente é \frac{dy}{dx}.
Na nossa equação a maior derivada presente é \frac{dy}{dx} (derivada de primeira ordem) e não aparecem derivadas de ordem superior. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 1.

Passo 3

Agora o que é “grau” de uma EDO. O grau é o expoente do(s) termo(s) que envolvem a maior derivada, depois que a equação foi escrita de forma polinomial em todas as derivadas (isto é, sem radicais, frações onde apareça a derivada no denominador, funções transcendentais das derivadas etc.). Exemplos para distinguir:
  • Em \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}+y=0 a ordem é 2 e o grau é 3.
  • Em \sin\!\left(\frac{dy}{dx}\right)+y=0 o grau é indefinido porque a derivada aparece dentro de uma função trigonométrica (não é polinomial).
No nosso caso a equação já está em forma polinomial em relação à derivada \frac{dy}{dx}: ela aparece apenas na primeira potência e não está dentro de nenhuma função. Escrevendo explicitamente:
\frac{dy}{dx} + x\,y^{2}=0.
A maior derivada \frac{dy}{dx} aparece elevada à potência 1. Assim o grau é
\text{grau} = 1.

Passo 4

Agora vamos definir “linearidade” (se a EDO é linear ou não-linear). Uma equação diferencial é linear em y (e suas derivadas) se pode ser escrita na forma
a_{n}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x)\frac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x),
onde os coeficientes a_{i}(x) e o termo não-homogêneo g(x) dependem apenas de x, e nenhuma potência ou produto não-linear envolvendo y ou suas derivadas aparece (por exemplo não podem aparecer y^{2}, y\frac{dy}{dx}, \sin y, etc.). Exemplos:
  • \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) é linear.
  • \frac{dy}{dx}+y^{2}=0 não é linear, pois tem y^{2}.

Passo 5

Aplicando essa definição à nossa equação:
\frac{dy}{dx}+x\,y^{2}=0,
o termo x\,y^{2} contém y elevado ao quadrado. Isso é uma não-linearidade em y (o coeficiente x depende só de x, mas o produto envolve y^{2}). Portanto a equação não pode ser escrita na forma linear padrão (porque há um y^{2}). Conclusão: a equação é não-linear.
Como comentário didático extra (para você fixar): essa equação é um caso particular da equação de Bernoulli,
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x)\,y^{n},
com p(x)=0, q(x)= -x e n=2. Bernoulli é uma classe de equações não-lineares que, via mudança de variável adequada, podem ser reduzidas a uma linear — é uma técnica útil na prova, mas aqui só precisava identificar as propriedades.

Resposta

Ordem: 1
Grau: 1
Classificação: não-linear

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