Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
\left(\frac{d \theta}{d x}\right)^{5}-\theta^{2}+\cos (\theta)=-x^{6}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. A equação dada é
\left(\frac{d \theta}{d x}\right)^{5}-\theta^{2}+\cos(\theta)=-x^{6}.
O enunciado pede três coisas:
  • determinar a ordem da EDO;
  • determinar o grau da EDO;
  • dizer se a EDO é linear ou não-linear.
Informações relevantes que vemos no enunciado:
  • aparece a derivada \dfrac{d\theta}{dx} elevada à quinta potência;
  • aparecem termos envolvendo apenas \theta: \theta^{2} e \cos(\theta);
  • o lado direito é -x^{6}, função apenas de x.

Passo 2

Definição e determinação da ordem.
Definição: a ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada da função dependente que aparece na equação (ou seja, o maior número de diferenciações de \theta que aparece). Por exemplo, se aparece \dfrac{d^{2}\theta}{dx^{2}} então a ordem seria 2.
Na nossa equação a única derivada que aparece é \dfrac{d\theta}{dx}, isto é, a primeira derivada. Não aparece \dfrac{d^{2}\theta}{dx^{2}} nem derivadas de ordem maior. Portanto a ordem da EDO é a primeira.

Passo 3

Definição e determinação do grau.
Definição: o grau de uma EDO (quando está bem definido) é o expoente inteiro positivo ao qual o termo que contém a maior derivada aparece, depois que a equação foi escrita de modo a ser um polinômio em todas as derivadas (isto é, sem frações, radicais ou funções transcendentes envolvendo derivadas). Importante: o grau só é definido se a equação for polinomial nas derivadas.
Na equação o termo que contém a derivada é \left(\dfrac{d\theta}{dx}\right)^{5}. Esse é um monômio com expoente 5 sobre a maior derivada (a primeira). Não há raízes fracionárias nem a derivada dentro de uma função não polinomial; os outros termos -\theta^{2} e \cos(\theta) não envolvem derivadas. Portanto a equação é polinomial em relação às derivadas e o expoente da maior derivada é 5. Logo o grau da EDO é cinco.
(Observação didática curta: se por exemplo aparecesse \sin\!\big(\dfrac{d\theta}{dx}\big) ou \sqrt{\dfrac{d\theta}{dx}}, o grau não estaria definido porque não seria polinomial nas derivadas.)

Passo 4

Definição e verificação de linearidade.
Definição: uma EDO é linear em \theta se \theta e todas as suas derivadas aparecem apenas em primeira potência (grau 1) e sem serem compostas por funções não lineares de \theta; coeficientes podem ser funções de x mas não podem depender de \theta. Em forma geral, uma EDO linear de ordem n tem a aparência
a_n(x)\,\frac{d^n\theta}{dx^n}+a_{n-1}(x)\,\frac{d^{n-1}\theta}{dx^{n-1}}+\cdots+a_0(x)\,\theta = b(x),
onde os a_i(x) e b(x) são funções de x apenas.
Na equação dada há dois problemas para linearidade:
  • aparece o termo \theta^{2}, que é não-linear em \theta (potência 2);
  • aparece \left(\dfrac{d\theta}{dx}\right)^{5}, que é não-linear porque a derivada aparece elevada à quinta potência.
Bastaria qualquer um desses para quebrar a linearidade. Portanto a EDO é não-linear.

Passo 5

Resumo do raciocínio (sem repetir o formato final):
  • a maior derivada presente é a primeira derivada \dfrac{d\theta}{dx} → ordem 1;
  • essa derivada aparece elevada à quinta potência e a equação é polinomial nas derivadas → grau 5;
  • \theta^{2} e \left(\dfrac{d\theta}{dx}\right)^{5}, ambos não-lineares → equação não-linear.

Resposta

Ordem: 1
Grau: 5
Não-linear

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