Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. A equação dada é
O enunciado pede três coisas:
- determinar a ordem da EDO;
- determinar o grau da EDO;
- dizer se a EDO é linear ou não-linear.
Informações relevantes que vemos no enunciado:
- aparece a derivada
elevada à quinta potência; - aparecem termos envolvendo apenas
: e ; - o lado direito é
, função apenas de .
Passo 2
Definição e determinação da ordem.
Definição: a ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada da função dependente que aparece na equação (ou seja, o maior número de diferenciações de que aparece). Por exemplo, se aparece
então a ordem seria 2.
Definição: a ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada da função dependente que aparece na equação (ou seja, o maior número de diferenciações de
Na nossa equação a única derivada que aparece é
, isto é, a primeira derivada. Não aparece
nem derivadas de ordem maior. Portanto a ordem da EDO é a primeira.
Passo 3
Definição e determinação do grau.
Definição: o grau de uma EDO (quando está bem definido) é o expoente inteiro positivo ao qual o termo que contém a maior derivada aparece, depois que a equação foi escrita de modo a ser um polinômio em todas as derivadas (isto é, sem frações, radicais ou funções transcendentes envolvendo derivadas). Importante: o grau só é definido se a equação for polinomial nas derivadas.
Definição: o grau de uma EDO (quando está bem definido) é o expoente inteiro positivo ao qual o termo que contém a maior derivada aparece, depois que a equação foi escrita de modo a ser um polinômio em todas as derivadas (isto é, sem frações, radicais ou funções transcendentes envolvendo derivadas). Importante: o grau só é definido se a equação for polinomial nas derivadas.
Na equação o termo que contém a derivada é
. Esse é um monômio com expoente
sobre a maior derivada (a primeira). Não há raízes fracionárias nem a derivada dentro de uma função não polinomial; os outros termos
e
não envolvem derivadas. Portanto a equação é polinomial em relação às derivadas e o expoente da maior derivada é
. Logo o grau da EDO é cinco.
(Observação didática curta: se por exemplo aparecesse
ou
, o grau não estaria definido porque não seria polinomial nas derivadas.)
Passo 4
Definição e verificação de linearidade.
Definição: uma EDO é linear em se
e todas as suas derivadas aparecem apenas em primeira potência (grau 1) e sem serem compostas por funções não lineares de
; coeficientes podem ser funções de
mas não podem depender de
. Em forma geral, uma EDO linear de ordem
tem a aparência
Definição: uma EDO é linear em
onde os
e
são funções de
apenas.
Na equação dada há dois problemas para linearidade:
- aparece o termo
, que é não-linear em (potência 2); - aparece
, que é não-linear porque a derivada aparece elevada à quinta potência.
Bastaria qualquer um desses para quebrar a linearidade. Portanto a EDO é não-linear.
Passo 5
Resumo do raciocínio (sem repetir o formato final):
- a maior derivada presente é a primeira derivada
→ ordem 1; - essa derivada aparece elevada à quinta potência e a equação é polinomial nas derivadas → grau 5;
- há
e , ambos não-lineares → equação não-linear.
Resposta
Ordem:
Grau:
Não-linear
Grau:
Não-linear