Determine a ordem e diga se a EDP é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar a ordem da EDP e dizer se ela é linear ou não-linear. A equação dada é
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A incógnita é a função
. - Aparecem derivadas parciais de
: e . - Aparece também o termo
. - O lado direito é a função conhecida
.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDP?
- A ordem de uma EDP é o maior grau (ordem) de derivada parcial que aparece na equação.
- Por exemplo, se aparecem apenas
e , a ordem é porque é a segunda derivada.
Aplicando isso à equação dada: os termos de maior ordem que aparecem são
e
, que são derivadas de segunda ordem. Não há derivadas de ordem maior que
. Portanto a ordem é
.
Passo 3
O que significa “linear” para uma EDP? Vou explicar passo a passo, sem jargões:
- Uma EDP é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções que não dependem de (podem depender das variáveis independentes ) e são somadas — ou seja, a equação é da forma “coeficiente derivada” somados a termos conhecidos. - Em outras palavras, não pode haver produtos entre
(ou suas derivadas) nem funções não-lineares de (como , , , etc.). Termos dependendo de sozinhos (como ) são permitidos e não afetam linearidade. - Um exemplo de EDP linear de ordem 2 é a equação de Laplace:
porque e aparecem apenas somados, multiplicados por coeficiente (que não depende de ).
Passo 4
Verificação de linearidade para a equação dada:
- Observe os termos de derivadas de maior ordem:
e . Esses aparecem de forma linear (são somados e multiplicados por coeficiente constante ). Isso por si só não impede linearidade. - Porém, há o termo
. A função é uma função não-linear de (não é da forma coeficiente independente de multiplicando ). A presença de faz a equação NÃO ser linear, porque a equação contém uma função não-linear da própria incógnita . - Um refinamento útil (útil para provas): quando os termos de maior ordem aparecem linearmente, mas podem existir funções não-lineares de
que envolvem apenas (não suas derivadas), a equação costuma ser chamada de semilinear. Aqui os segundos derivados aparecem linearmente e a não-linearidade depende somente de , logo a equação é um exemplo de EDP semilinear de segunda ordem.
Passo 5
Recapitulando sem dar a resposta final direta: identificamos o maior nível de derivada presente (segundo ordem) e verificamos que há uma função não-linear de
(
), o que quebra a linearidade. Também observamos que, tecnicamente, como os termos de maior ordem aparecem linearmente e a não-linearidade envolve apenas
, a classificação mais refinada é “semilinear”.
Resposta
Ordem:
Não-linear (semilinear)
Não-linear (semilinear)