Determine a ordem e diga se a EDP é linear ou não-linear.
u_{x x}+u_{y y}+\operatorname{sen}(u)=x+y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar a ordem da EDP e dizer se ela é linear ou não-linear. A equação dada é
u_{x x}+u_{y y}+\sin(u)=x+y.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A incógnita é a função u=u(x,y).
  • Aparecem derivadas parciais de u: u_{x x} e u_{y y}.
  • Aparece também o termo \sin(u).
  • O lado direito é a função conhecida x+y.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDP?
  • A ordem de uma EDP é o maior grau (ordem) de derivada parcial que aparece na equação.
  • Por exemplo, se aparecem apenas u_x e u_{xx}, a ordem é 2 porque u_{xx} é a segunda derivada.
Aplicando isso à equação dada: os termos de maior ordem que aparecem são u_{x x} e u_{y y}, que são derivadas de segunda ordem. Não há derivadas de ordem maior que 2. Portanto a ordem é 2.

Passo 3

O que significa “linear” para uma EDP? Vou explicar passo a passo, sem jargões:
  • Uma EDP é linear se a incógnita u e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções que não dependem de u (podem depender das variáveis independentes x,y) e são somadas — ou seja, a equação é da forma “coeficiente \times derivada” somados a termos conhecidos.
  • Em outras palavras, não pode haver produtos entre u (ou suas derivadas) nem funções não-lineares de u (como \sin(u), u^2, e^{u}, etc.). Termos dependendo de x,y sozinhos (como x+y) são permitidos e não afetam linearidade.
  • Um exemplo de EDP linear de ordem 2 é a equação de Laplace: u_{x x}+u_{y y}=0,porque u_{xx} e u_{yy} aparecem apenas somados, multiplicados por coeficiente 1 (que não depende de u).

Passo 4

Verificação de linearidade para a equação dada:
  • Observe os termos de derivadas de maior ordem: u_{x x} e u_{y y}. Esses aparecem de forma linear (são somados e multiplicados por coeficiente constante 1). Isso por si só não impede linearidade.
  • Porém, há o termo \sin(u). A função \sin(u) é uma função não-linear de u (não é da forma coeficiente independente de u multiplicando u). A presença de \sin(u) faz a equação NÃO ser linear, porque a equação contém uma função não-linear da própria incógnita u.
  • Um refinamento útil (útil para provas): quando os termos de maior ordem aparecem linearmente, mas podem existir funções não-lineares de u que envolvem apenas u (não suas derivadas), a equação costuma ser chamada de semilinear. Aqui os segundos derivados aparecem linearmente e a não-linearidade \sin(u) depende somente de u, logo a equação é um exemplo de EDP semilinear de segunda ordem.

Passo 5

Recapitulando sem dar a resposta final direta: identificamos o maior nível de derivada presente (segundo ordem) e verificamos que há uma função não-linear de u ( \sin(u)), o que quebra a linearidade. Também observamos que, tecnicamente, como os termos de maior ordem aparecem linearmente e a não-linearidade envolve apenas u, a classificação mais refinada é “semilinear”.

Resposta

Ordem: 2
Não-linear (semilinear)

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