Calcule os seguintes logaritmos:
\log _{2}\left(\frac{1}{16}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{2}\!\left(\frac{1}{16}\right).
Informações dadas: a base do logaritmo é 2 e o argumento é \dfrac{1}{16}.

Passo 2

Lembrete (definição): \log_{b}(a)=c significa, por definição, que
b^{c}=a.
Aqui b é a base do logaritmo, a é o argumento (o número cujo logaritmo se quer) e c é o valor do logaritmo que procuramos.

Passo 3

Transformar o argumento \dfrac{1}{16} em uma potência de 2 facilita a conta. Sabendo que
16=2^{4},
temos
\frac{1}{16}=(2^{4})^{-1}=2^{-4}.

Passo 4

Usar a propriedade direta dos logaritmos: se um argumento é uma potência da base, então
\log_{b}\!\bigl(b^{k}\bigr)=k.
Isto decorre da definição: b^{k}=b^{k}, logo o logaritmo (exponente) é k.

Passo 5

Aplicando a propriedade ao caso:
\log_{2}\!\left(\frac{1}{16}\right)=\log_{2}\!\bigl(2^{-4}\bigr)=-4.

Passo 6

Verificação rápida: 2^{-4}=\dfrac{1}{2^{4}}=\dfrac{1}{16}, portanto o resultado está coerente.

Passo 7

Dica para prova: sempre que o argumento for um número simples, tente escrevê‑lo como potência da base. Exemplos rápidos: \log_{2}(8)=3 porque 8=2^{3}; \log_{2}\!\left(\tfrac{1}{8}\right)=-3 porque \tfrac{1}{8}=2^{-3}.

Resposta

-4

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