Em cada item, determine uma parametrização para a superfície descrita.
A parte do plano 3 x+2 y+z=6 que está no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da porção do plano
3x + 2y + z = 6
que está no primeiro octante, ou seja, com x>=0, y>=0 e z>=0.
Matematicamente, vamos tratar essa porção como o gráfico da função
z = 6 - 3x - 2y
sobre a região no plano xy em que z>=0.

Passo 2

Para garantir z>=0 na função z=6-3x-2y, precisamos de
6 - 3x - 2y >= 0
com x>=0 e y>=0. Isso define o domínio triangular
D = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;3x+2y<=6

Passo 3

Escolhemos parâmetros (u,v) variando em D e definimos a aplicação
r(u,v) ;=;l(u,;v,;6 - 3u - 2vr)
Essa função leva o triângulo D no plano uv exatamente à parte do plano original no primeiro octante.

Resposta

r(u,v) = l(u,;v,;6 - 3u - 2vr)
0 <= u <= 2, 0 <= v <= 6 - 3u2

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