If de<a^prime(t-a) denotes the formal derivative of the delta function, show that integral0^infty F(t) de<a^prime(t-a) d t=-F^prime(a).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral0^infty F(t),de<a'(t-a),dt
onde de<a'(t-a) é a derivada, no sentido de distribuições, da delta de Dirac centrada em t=a. Vamos usar o teorema de integração por partes em distribuições.

Passo 2

Recordando a definição de derivada de uma distribuição T: para toda função de teste phi,
integral-infty^infty!phi(t),T'(t),dt ;=;-,integral-infty^infty!phi'(t),T(t),dt
Aqui tomamos T(t)=de<a(t-a) e phi(t)=F(t).

Passo 3

Aplicando esta propriedade sobre o intervalo [0,infty) por integração por partes formal, com u=F(t) e dv=de<a'(t-a),dt, obtemos
integral0^inftyF(t),de<a'(t-a),dt =l[F(t),de<a(t-a)r]0^infty -integral0^inftyF'(t),de<a(t-a),dt

Passo 4

Examinando o termo de contorno,
limttoinftyF(t),de<a(t-a);-;F(0),de<a(0-a),
vemos que ambos valem zero (a delta só “pega” em t=a, e presumimos a>0), logo resta
-integral0^inftyF'(t),de<a(t-a),dt

Passo 5

Pela propriedade de amostragem da delta de Dirac,
integral0^inftyF'(t),de<a(t-a),dt = F'(a)
Portanto
I = -,F'(a)

Resposta

-,F'(a)

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