Em cada item, determine uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da superfície z=1+3 x+3 y^2 cuja projeção no plano x y é o triângulo de vértices (0,0,0),(0,1,0) e (2,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte da superfície
z = 1 + 3x + 3y^2
cuja projeção no plano xy é o triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (2,1).
O conteúdo aqui é parametrizar uma superfície gráfico de uma função de duas variáveis sobre uma região triangular no plano.

Passo 2

Precisamos descrever a região triangular T no plano xy. Os vértices são (0,0), (0,1) e (2,1).
Note que a aresta oblíqua de (0,0) a (2,1) satisfaz y = tfrac12 x, ou seja x = 2y.
Logo
T = (x,y)mid 0 <= y <= 1,;0 <= x <= 2y

Passo 3

Para parametrizar o triângulo T num domínio mais simples, definimos
u = y, v = x,
de modo que
0 <= u <= 1, 0 <= v <= 2u
Assim (u,v) percorre diretamente o triângulo na ordem natural.

Passo 4

A parametrização da superfície é dada por
r(u,v) = l(x(u,v),,y(u,v),,z(u,v)r) = l(v,;u,;1 + 3v + 3u^2r),
com (u,v) variando em
D = (u,v)mid 0 <= u <= 1,;0 <= v <= 2u

Resposta

boxed r(u,v) = l(v,;u,;1 + 3v + 3u^2r), 0 <= u <= 1,; 0 <= v <= 2u

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