Determine as constantes a, b e c para que f(x) seja derivável em R :
f(x)=cc 4 x, & x <= 0 a x^2+b x+c, & 0<x <= 1 3-2 x, & x >= 1
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes a , b e c para que a função f(x) seja derivável em todos os números reais. Isso significa que a função deve ser contínua e ter derivadas iguais nos pontos onde a definição dela muda, ou seja, em x = 0 e x = 1 . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em x = 0 e x = 1 . Para a função ser contínua nesses pontos, o limite pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também ao valor da função nesses pontos.
Em x = 0 :
limx to 0^- f(x) = 4 times 0 = 0
limx to 0^+ f(x) = a times 0^2 + b times 0 + c = c
Para ser contínua, 0 = c . Portanto, c = 0 .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em x = 1 .
Em x = 1 :
limx to 1^- f(x) = a times 1^2 + b times 1 + 0 = a + b
limx to 1^+ f(x) = 3 - 2 times 1 = 1
Para ser contínua, a + b = 1 . Então, temos a primeira equação: a + b = 1 .

Passo 4

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em x = 0 e x = 1 . Para isso, as derivadas pela esquerda e pela direita nesses pontos devem ser iguais.
Primeiro, em x = 0 :
A derivada para x < 0 é:
f'(x) = 4
A derivada para 0 < x < 1 é:
f'(x) = 2a x + b
Em x = 0 , a derivada pela direita é b . Para ser derivável, 4 = b . Então, b = 4 .

Passo 5

Com b = 4 , voltamos à equação da continuidade em x = 1 :
a + 4 = 1
Resolvendo para a :
a = 1 - 4
a = -3

Resposta

As constantes que fazem a função f(x) ser derivável em todos os reais são:
a = -3, b = 4, c = 0

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