Em cada item, determine uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da superfície y=4 x+z^2 que se encontra entre os planos x=0, x=1, z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da porção da superfície dada por
,y = 4x + z^2
que está contida entre os planos x=0, x=1, z=0 e z=1.
O conteúdo aqui é parametrização de superfícies, em particular de um gráfico de função de duas variáveis.

Passo 2

Note que a superfície é o gráfico da função
f(x,z) = 4x + z^2
sobre um domínio no plano xz. Para parametrizar um gráfico y=f(x,z), basta usar (x,z) como parâmetros.

Passo 3

Definimos os parâmetros (u,v) de modo que
x = u, z = v, y = f(u,v) = 4u + v^2
Assim a aplicação
r(u,v) = lang<= u,;4u + v^2,;vrang<=
vale ponto a ponto sobre a superfície.

Passo 4

Os planos x=0,,x=1 e z=0,,z=1 impõem as restrições
0 <= u <= 1, 0 <= v <= 1

Resposta

A parametrização procurada é
r(u,v) = lang<= u,;4u + v^2,;vrang<=, 0 <= u <= 1,; 0 <= v <= 1

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