Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida.
integral0^4(integral3 x^2^12 x f(x, y) d y) d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
integral0^4l(integral3x^2^12xf(x,y),dyr),dx
e pede para inverter a ordem de integração. Isso envolve identificar a região
,D=(x,y)mid 0<= x<=4,;3x^2<= y<=12x, projetá-la no eixo y e depois descrever os limites de x em função de y.

Passo 2

Descrevemos ,D pelas curvas
y=3x^2 e y=12x,
com x variando de 0 a 4. As interseções ocorrem ao resolver
3x^2=12x ;Longrightarrow; x(3x-12)=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=4,
gerando os pontos (0,0) e (4,48).

Passo 3

A projeção de D no eixo y vai do menor y no ponto (0,0) até o maior y em (4,48). Logo,
0<= y<=48

Passo 4

Para um y fixo em [0,48], os x de D satisfazem
3x^2<= y<=12x
Isto dá duas desigualdades:
x>=y12, x<=raizy3
Portanto, para cada y,
,x varia de ,y12 até ,raiztfrac y3.

Passo 5

Agora escrevemos a integral com dx interno e dy externo:
integraly=0^48l(integralx=y12^raizy3f(x,y),dxr),dy

Resposta

integral0^48l(integraly12^raizy3f(x,y),dxr),dy

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