Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida.
integral0^a(integrala^2-x^22 a^raiza^2-x^2 f(x, y) d y) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e como eles definem a região onde a função f(x, y) está sendo integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral original:
integral0^a ( integrala^2-x^22 a^raiza^2-x^2 f(x, y) , dy ) dx
Aqui, x varia de 0 a a . Para cada valor de x , y varia de a^2-x^22 a até raiza^2-x^2 .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos entender a região de integração no plano xy . Vamos desenhar ou imaginar essa região:
  1. Limites de x : 0 <= x <= a
  2. Limites de y : a^2-x^22 a <= y <= raiza^2-x^2

Passo 4

Vamos encontrar os limites de primeiro. Observando os extremos:
  • Quando :
  • Quando :
Isso nos mostra que varia de 0 até .

Passo 5

Agora, para cada valor de y no intervalo de 0 a a , precisamos encontrar os limites correspondentes para x .
A partir dos limites originais:
a^2-x^22 a <= y <= raiza^2-x^2
Vamos resolver essas desigualdades para x :
  1. De y <= raiza^2-x^2 :
y^2 <= a^2 - x^2 implies x^2 <= a^2 - y^2 implies x <= raiza^2 - y^2
  1. De y >= a^2-x^22 a :
2 a y >= a^2 - x^2 implies x^2 >= a^2 - 2 a y implies x >= raiza^2 - 2 a y

Passo 6

Com isso, para cada y entre 0 e a , x varia de raiza^2 - 2 a y até raiza^2 - y^2 .

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral0^a ( integrala^2-x^22 a^raiza^2-x^2 f(x, y) , dy ) dx = integral0^a ( integralraiza^2 - 2 a y^raiza^2 - y^2 f(x, y) , dx ) dy

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