Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e como eles definem a região onde a função
está sendo integrada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral original:
Aqui,
varia de 0 a
. Para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos entender a região de integração no plano
. Vamos desenhar ou imaginar essa região:
- Limites de
: - Limites de
:
Passo 4
Vamos encontrar os limites de
primeiro. Observando os extremos:
- Quando
:
- Quando
:
Isso nos mostra que
varia de 0 até
.
Passo 5
Agora, para cada valor de
no intervalo de 0 a
, precisamos encontrar os limites correspondentes para
.
A partir dos limites originais:
Vamos resolver essas desigualdades para
:
- De
:
- De
:
Passo 6
Com isso, para cada
entre 0 e
,
varia de
até
.
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é: