Nos exercícios 01 a 08, calcule integralegral duplaD f(x, y) d x d y, onde D é a região descrita em cada caso.
f(x, y)=x, D a região do primeiro quadrante, limitada pela reta x+y=2 e pelo arco da circunferência de raio 1 , com centro no ponto (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de f(x, y) = x sobre a região D no primeiro quadrante, que é limitada pela reta x + y = 2 e pelo arco de uma circunferência de raio 1 com centro em (0,1) . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e geometria das regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região D . Ela está no primeiro quadrante, ou seja, onde x >= 0 e y >= 0 . A reta x + y = 2 é uma linha reta que corta os eixos x e y nos pontos (2,0) e (0,2) , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a circunferência. A equação geral de uma circunferência é (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 , onde (h,k) é o centro e r é o raio. No nosso caso, o centro é (0,1) e o raio é 1, então a equação fica:
x^2 + (y - 1)^2 = 1
Essa circunferência corta o eixo y em y = 0 e y = 2 .

Passo 4

Para visualizar melhor, vamos desenhar a região D . No primeiro quadrante, temos a reta x + y = 2 e a circunferência x^2 + (y - 1)^2 = 1 . A interseção dessas duas curvas nos dará os limites de integração.

Passo 5

Vamos encontrar o ponto de interseção entre a reta e a circunferência. Substituindo y = 2 - x na equação da circunferência:
x^2 + ((2 - x) - 1)^2 = 1 x^2 + (1 - x)^2 = 1 x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1 2x^2 - 2x + 1 = 1 2x^2 - 2x = 0 2x(x - 1) = 0
Portanto, x = 0 ou x = 1 . Correspondendo a y = 2 e y = 1 , respectivamente.

Passo 6

Então, a região D vai de x = 0 a x = 1 , onde a circunferência está abaixo da reta, e de x = 1 a x = 2 , onde a reta está abaixo da circunferência. Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar.

Passo 7

Primeiro, para 0 <= x <= 1 , o limite superior de y é dado pela circunferência:
y = 1 + raiz1 - x^2
E o limite inferior é a reta:
y = 2 - x
Segundo, para 1 <= x <= 2 , o limite superior de y é sempre a reta y = 2 - x , e o limite inferior é zero, já que estamos no primeiro quadrante.

Passo 8

Agora, montamos as integrais. A integral dupla fica assim:
integral duplaD x , dx , dy = integral0^1 integral2 - x^1 + raiz1 - x^2 x , dy , dx + integral1^2 integral0^2 - x x , dy , dx

Passo 9

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^1 integral2 - x^1 + raiz1 - x^2 x , dy , dx = integral0^1 x [ y ]2 - x^1 + raiz1 - x^2 , dx = integral0^1 x (1 + raiz1 - x^2 - (2 - x)) , dx
Simplificando:
= integral0^1 x (-1 + x + raiz1 - x^2) , dx

Passo 10

Agora, a segunda integral:
integral1^2 integral0^2 - x x , dy , dx = integral1^2 x [ y ]0^2 - x , dx = integral1^2 x (2 - x) , dx
Simplificando:
= integral1^2 (2x - x^2) , dx

Passo 11

Vamos calcular as integrais separadamente. Primeiro, a primeira integral:
integral0^1 (-x + x^2 + x raiz1 - x^2) , dx = integral0^1 -x , dx + integral0^1 x^2 , dx + integral0^1 x raiz1 - x^2 , dx
Calculando cada parte:
integral0^1 -x , dx = -12x^2 |0^1 = -12
integral0^1 x^2 , dx = 13x^3 |0^1 = 13
Para integral0^1 x raiz1 - x^2 , dx , fazemos a substituição u = 1 - x^2 , então du = -2x , dx , ou seja, -12 du = x , dx . Assim:
-12 integral1^0 raizu , du = 12 integral0^1 u^1/2 , du = 12 cdot 23 u^3/2 |0^1 = 13
Então, a primeira integral totaliza:
- 12 + 13 + 13 = -12 + 23 = 23 - 36 = 46 - 36 = 16

Passo 12

Agora, a segunda integral:
integral1^2 (2x - x^2) , dx = integral1^2 2x , dx - integral1^2 x^2 , dx = [ x^2 ]1^2 - [ 13x^3 ]1^2 = (4 - 1) - ( 83 - 13 ) = 3 - 73 = 93 - 73 = 23

Resposta

Somando as duas partes, a integral dupla é:
16 + 23 = 16 + 46 = 56
Portanto, o valor da integral dupla integral duplaD x , dx , dy é 56 .

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