Nos exercícios 01 a 08, calcule , onde é a região descrita em cada caso. a região do primeiro quadrante, limitada pela reta e pelo arco da circunferência de raio 1 , com centro no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região no primeiro quadrante, que é limitada pela reta e pelo arco de uma circunferência de raio 1 com centro em . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e geometria das regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela está no primeiro quadrante, ou seja, onde e . A reta é uma linha reta que corta os eixos e nos pontos e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a circunferência. A equação geral de uma circunferência é , onde é o centro e é o raio. No nosso caso, o centro é e o raio é 1, então a equação fica:
Essa circunferência corta o eixo em e .
Passo 4
Para visualizar melhor, vamos desenhar a região . No primeiro quadrante, temos a reta e a circunferência . A interseção dessas duas curvas nos dará os limites de integração.
Passo 5
Vamos encontrar o ponto de interseção entre a reta e a circunferência. Substituindo na equação da circunferência:
Portanto, ou . Correspondendo a e , respectivamente.
Passo 6
Então, a região vai de a , onde a circunferência está abaixo da reta, e de a , onde a reta está abaixo da circunferência. Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar.
Passo 7
Primeiro, para , o limite superior de é dado pela circunferência:
E o limite inferior é a reta:
Segundo, para , o limite superior de é sempre a reta , e o limite inferior é zero, já que estamos no primeiro quadrante.
Passo 8
Agora, montamos as integrais. A integral dupla fica assim:
Passo 9
Vamos resolver a primeira integral:
Simplificando:
Passo 10
Agora, a segunda integral:
Simplificando:
Passo 11
Vamos calcular as integrais separadamente. Primeiro, a primeira integral:
Calculando cada parte:
integral0^1 x^2 , dx = 13x^3 |0^1 = 13
Para integral0^1 x raiz1 - x^2 , dx , fazemos a substituição u = 1 - x^2 , então du = -2x , dx , ou seja, -12 du = x , dx . Assim:
-12 integral1^0 raizu , du = 12 integral0^1 u^1/2 , du = 12 cdot 23 u^3/2 |0^1 = 13