Calcule, caso exista, lim n +infty an, sendo an igual a
sumk=0^n2(12)^k

Passo 1

O enunciado define a sequência (an) por
an = sumk=0^n2 l(tfrac12r)^k
e pede limnto+inftyan. Aqui vamos usar o conceito de soma finita de uma progressão geométrica e o comportamento do termo geral quando o índice vai a infinito.

Passo 2

Reconhecemos que sumk=0^mr^k é uma soma finita de progressão geométrica de razão r. No nosso caso r=tfrac12 e m=tfrac n2. A fórmula geral é
sumk=0^mr^k = 1-r^m+11-r

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso an, com r=tfrac12 e m=tfrac n2, obtemos
an = sumk=0^ n2 l(tfrac12r)^k = 1 - l(tfrac12r)^ n2 + 11 - tfrac12 = 2l[1 - l(tfrac12r)^ n2 + 1r]

Passo 4

Para calcular o limite de an quando nto+infty, observamos que l(tfrac12r)^ n2 + 1 tende a zero, pois l|tfrac12r|<1. Logo,
limnto+infty l(tfrac12r)^ n2 + 1 = 0

Passo 5

Substituindo no termo fechado de an, temos
limnto+infty an = limnto+infty 2l[1 - l(tfrac12r)^ n2 + 1r] = 2l[1-0r] = 2

Resposta

2

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