Em cada item, determine o(s) valor(es) de que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares em duas incógnitas:
-4x+3y=2, 5x-4y=0, 2x-y=k
O conteúdo aqui é teoria de sistema linear sobdeterminados/overdeterminados; vamos usar o fato de que as duas primeiras equações são independentes (determinante não nulo) e fornecem uma única solução (x,y). Depois impomos que essa solução satisfaça a terceira equação para garantir consistência.
Passo 2
Verificamos a independência das duas primeiras equações calculando o determinante da matriz dos coeficientes:
Logo a única solução das duas primeiras é (x,y)=(-8,-10).
Passo 4
Para o sistema completo ser consistente, essa mesma solução deve satisfazer a terceira equação ,2x-y=k. Substituindo (x,y)=(-8,-10):
2cdot(-8)-(-10) =-16+10 =-6
Logo é preciso k=-6.
Se k=-6, a terceira equação é redundante e o sistema tem exatamente a solução única (-8,-10) (possível determinado).
Se kneq-6, a terceira equação entra em contradição e o sistema não tem solução (impossível).
Não existe valor de k que torne o sistema possível indeterminado, pois já há duas equações independentes para duas incógnitas.
Resposta
(a) possível determinado: k=-6
(b) possível indeterminado: não há valor de k
(c) impossível: kneq -6