Em cada item, determine o(s) valor(es) de k que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
-4 x+3 y & =2 5 x-4 y & =0 2 x-y & =k

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares em duas incógnitas:
-4x+3y=2, 5x-4y=0, 2x-y=k
O conteúdo aqui é teoria de sistema linear sobdeterminados/overdeterminados; vamos usar o fato de que as duas primeiras equações são independentes (determinante não nulo) e fornecem uma única solução (x,y). Depois impomos que essa solução satisfaça a terceira equação para garantir consistência.

Passo 2

Verificamos a independência das duas primeiras equações calculando o determinante da matriz dos coeficientes:
det-4 & 3 5 & -4 = (-4) cdot (-4) - 3 cdot 5 = 16 - 15 = 1 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, o subsistema formado pelas duas primeiras equações tem solução única. Vamos achá-la por Regra de Cramer.

Passo 3

Aplicando Cramer:
x=det2 & 3 0 & -4det-4 & 3 5 & -4 =2cdot(-4)-3cdot01 =-8,
y=det-4 & 2 5 & 0det-4 & 3 5 & -4 =-4cdot0-2cdot51 =-10
Logo a única solução das duas primeiras é (x,y)=(-8,-10).

Passo 4

Para o sistema completo ser consistente, essa mesma solução deve satisfazer a terceira equação ,2x-y=k. Substituindo (x,y)=(-8,-10):
2cdot(-8)-(-10) =-16+10 =-6
Logo é preciso k=-6.
  • Se k=-6, a terceira equação é redundante e o sistema tem exatamente a solução única (-8,-10) (possível determinado).
  • Se kneq-6, a terceira equação entra em contradição e o sistema não tem solução (impossível).
    Não existe valor de k que torne o sistema possível indeterminado, pois já há duas equações independentes para duas incógnitas.

Resposta

(a) possível determinado: k=-6
(b) possível indeterminado: não há valor de k
(c) impossível: kneq -6

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