Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(m)lx+y+z+w=0 x+y+z-w=4 x+y-z+w=-4 x-y+z+w=2

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas (x,y,z,w). O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente resolução de sistemas por eliminação de Gauss. Vamos (i) extrair a matriz de coeficientes A, o vetor b e a matriz aumentada [Amidb]; (ii) escalonar [Amidb]; (iii) identificar variáveis livres e dependentes; (iv) classificar o sistema; (v) resolver quando houver solução.

Passo 2

Para o sistema
x+y+z+w=0, x+y+z-w=4, x+y-z+w=-4, x-y+z+w=2,
(i) a matriz de coeficientes A, o vetor b e a aumentada [Amidb] são
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & 1 , b = 0 4 -4 2 , [Amid b] = (rrrr|r 1 & 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & -1 & 4 1 & 1 & -1 & 1 & -4 1 & -1 & 1 & 1 & 2 )

Passo 3

(ii) Aplicando eliminações de Gauss em [Amidb]:\n— R2 R2-R1,;R3 R3-R1,;R4 R4-R1
(rrrr|r 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 4 0 & 0 & -2 & 0 & -4 0 & -2 & 0 & 0 & 2 )
— Em seguida normalizamos cada linha de pivô:
R2div(-2),;R3div(-2),;R4div(-2)Longrightarrow (rrrr|r 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -2 ),
que é a forma escalonada.

Passo 4

(iii) Nesta forma escalonada há pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4. Logo não há variáveis livres e todas x,y,z,w são dependentes.
(iv) Como o número de pivôs (posto) é 4, igual ao número de incógnitas, o sistema é consistente e determinado, ou seja, possui solução única.

Passo 5

(v) Da forma escalonada obtemos diretamente
w = -2, z = 2, y = -1,
e pela primeira equação x + y + z + w = 0 segue
x + (-1) + 2 + (-2) = 0Longrightarrow x = 1

Resposta

(i)
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & 1 , b = 04-42, [Amidb] = (rrrr|r 1 & 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & -1 & 4 1 & 1 & -1 & 1 & -4 1 & -1 & 1 & 1 & 2 )
(ii) Forma escalonada:
(rrrr|r 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -2 )
(iii) Variáveis livres: nenhuma; variáveis dependentes: x,y,z,w.
(iv) Sistema consistente e determinado (única solução).
(v) Solução única: (x,y,z,w) = (1,,-1,,2,,-2).

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