Em cada item, determine o(s) valor(es) de k que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
2 x-5 y+2 z & =0 x+y+z & =0 2 x+k z & =0

Passo 1

O enunciado pede a classificação do sistema homogêneo de três equações e três incógnitas em função do parâmetro k. Como é um sistema homogêneo ( b=0), ele é sempre consistente (tem pelo menos a solução trivial), e a existência de solução única ou soluções infinitas depende do posto da matriz de coeficientes, que podemos analisar via determinante.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 2 & -5 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k
e calculamos o determinante por desenvolvimento:
det(A) = 2l(1 cdot k - 1 cdot 0r) -(-5)l(1 cdot k - 1 cdot 2r) + 2l(1 cdot 0 - 1 cdot 2r)
Fazendo as contas,
det(A) = 2k + 5(k-2) + 2(-2) = 2k + 5k - 10 - 4 = 7(k-2)

Passo 3

Para classificar:
  • Se det(A)neq 0, isto é, kneq 2, então rank(A)=3 e o sistema homogêneo tem só a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0): é possível determinado.
  • Se det(A)=0, isto é, k=2, então rank(A)<3 e, por ser homogêneo, há infinitas soluções: é possível indeterminado.
  • Como é homogêneo, nunca há contradição, logo não existe valor de k que torne o sistema impossível.

Resposta

Para kneq 2: possível determinado.
Para k=2: possível indeterminado.
Impossível: nenhum valor de k.

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