Em cada item, determine o(s) valor(es) de k que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
x+2 y+k z & =-1 k x-y+z & =2 x+y+z & =0

Passo 1

O enunciado pede para classificar, em função de k, o sistema linear
x+2y+kz=-1, k x - y + z = 2, x + y + z = 0
como possível determinado (solução única), possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares: usamos o determinante da matriz de coeficientes para achar quando há solução única e, nos casos em que o determinante é zero, comparamos a classificação pela consistência (ranks).

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & k k & -1 & 1 1 & 1 & 1
e calculamos
det(A) =1cdotdet-1&11&1 -2cdotdetk&11&1 +kcdotdetk&-11&1
Isso dá
det(A) =1cdot(-1-1)-2cdot(k-1)+kcdot(k+1) =-2-2(k-1)+k(k+1) =k^2-k =k(k-1)
Logo, se kneq0 e kneq1, temos det(A)neq0 e o sistema é possível determinado (solução única).

Passo 3

Agora analisamos o caso
Em forma aumentada, subtraindo a primeira equação da terceira, obtemos duas linhas com o mesmo lado esquerdo mas RHS distintos, o que gera inconsistência. Concluímos que para (k=0] o sistema é impossível (sem solução).

Passo 4

Para
Fazendo operações linha a linha encontramos que duas das equações se reduzem a (consistentes) e as duas primeiras e a terceira levam ao mesmo lema . Assim temos livre uma variável (por exemplo ), e obtemos infinitas soluções. Logo para o sistema é possível indeterminado.

Resposta

  • Possível determinado (solução única): kneq0 e kneq1.
  • Possível indeterminado (infinitas soluções): k=1.
  • Impossível (sem solução): k=0.

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