Em cada item, determine o(s) valor(es) de que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
Passo 1
O enunciado pede para classificar, em função de k, o sistema linear
x+2y+kz=-1, k x - y + z = 2, x + y + z = 0
como possível determinado (solução única), possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares: usamos o determinante da matriz de coeficientes para achar quando há solução única e, nos casos em que o determinante é zero, comparamos a classificação pela consistência (ranks).
Logo, se kneq0 e kneq1, temos det(A)neq0 e o sistema é possível determinado (solução única).
Passo 3
Agora analisamos o caso
Em forma aumentada, subtraindo a primeira equação da terceira, obtemos duas linhas com o mesmo lado esquerdo mas RHS distintos, o que gera inconsistência. Concluímos que para (k=0] o sistema é impossível (sem solução).
Passo 4
Para
Fazendo operações linha a linha encontramos que duas das equações se reduzem a (consistentes) e as duas primeiras e a terceira levam ao mesmo lema . Assim temos livre uma variável (por exemplo ), e obtemos infinitas soluções. Logo para o sistema é possível indeterminado.
Resposta
Possível determinado (solução única): kneq0 e kneq1.