Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
x+3 y & =0 3 x-2 y & =0 -x-y & =0 x+y & =0

Passo 1

O enunciado dá um sistema de 4 equações e 2 incógnitas
x + 3y = 0, 3x - 2y = 0, -,x - y = 0, x + y = 0,
que envolve operação de matrizes, eliminação gaussiana, classificação de sistema e solução.

Passo 2

(i) Identificamos
A = 1 & 3 3 & -2 -1 & -1 1 & 1 , b = 0000, [Amid b] = 1 & 3 & 0 3 & -2 & 0 -1& -1 & 0 1 & 1 & 0

Passo 3

(ii) Aplicando eliminação de Gauss em [Amid b]:
1 & 3 & 0 3 & -2 & 0 -1& -1 & 0 1 & 1 & 0 ;xrightarrowR2to R2-3R1,;R3to R3+R1,;R4to R4-R1; 1 & 3 & 0 0 & -11 & 0 0 & 2 & 0 0 & -2 & 0 ;xrightarrowR2mapsto -111R2,;R1to R1-3R2,;R3to R3-2R2,;R4to R4+2R2; 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 4

(iii) Como há pivôs em ambas as colunas, não há variáveis livres; x e y são variáveis dependentes (básicas).
(iv) O posto de A é 2, igual ao número de incógnitas, e também igual ao posto de [Amid b]; logo o sistema é possível e determinado (solução única).

Passo 5

(v) Da forma escalonada segue imediatamente
x = 0, y = 0

Resposta

(i)
A = 1 & 3 3 & -2 -1& -1 1 & 1 , b = 0000, [Amid b] = 1 & 3 & 0 3 & -2 & 0 -1& -1 & 0 1 & 1 & 0
(ii)
forma escalonada de [Amid b]= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
(iii) não há variáveis livres; x e y são básicas.
(iv) sistema possível e determinado.
(v) única solução (x,y)=(0,0).

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