Em cada item, determine o(s) valor(es) de que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas que depende de um parâmetro k. Queremos classificar o sistema em: possível determinado (solução única), possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). Para isso vamos usar o Teorema de Rouché-Capelli, ou seja, comparar o posto da matriz de coeficientes A com o posto da matriz aumentada [Amid b].
Como det(A)=0 para todo k, o posto de A é menor que 3. Basta agora verificar um menor de ordem 2 qualquer para ver que esse posto vale 2: por exemplo, 1&11&2=1ne0. Logo
rank(A)=2para todo k
Passo 4
Agora montamos a matriz aumentada :
Para que o posto de seja 3 (incompatibilidade), basta que algum menor que inclua a coluna de termos independentes não se anule. Por simplicidade escolhemos as colunas 1,2 e 4:
Se , então e o sistema é impossível. Isso ocorre sempre que . Se , então e fica , o que dá infinitas soluções.
Resposta
possível determinado: nenhum k
possível indeterminado: k=-1
impossível: kneq-1