Em cada item, determine o(s) valor(es) de k que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
x+y+2 z & =k x+2 y+k z & =2 2 x+3 y+(k+2) z & =3 k+4

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas que depende de um parâmetro k. Queremos classificar o sistema em: possível determinado (solução única), possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). Para isso vamos usar o Teorema de Rouché-Capelli, ou seja, comparar o posto da matriz de coeficientes A com o posto da matriz aumentada [Amid b].

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & k 2 & 3 & k+2
e calculamos seu determinante:
det(A) =1cdot2 & k3 & k+2 -1cdot1 & k2 & k+2 +2cdot1 & 22 & 3
Fazendo as contas,
det(A)=(2(k+2)-3k);-;(1cdot(k+2)-2k);+;2(3-4) =(4-k)-(2-k)-2=0

Passo 3

Como det(A)=0 para todo k, o posto de A é menor que 3. Basta agora verificar um menor de ordem 2 qualquer para ver que esse posto vale 2: por exemplo,
1&11&2=1ne0. Logo
rank(A)=2para todo k

Passo 4

Agora montamos a matriz aumentada :
Para que o posto de seja 3 (incompatibilidade), basta que algum menor que inclua a coluna de termos independentes não se anule. Por simplicidade escolhemos as colunas 1,2 e 4:
Se , então e o sistema é impossível. Isso ocorre sempre que . Se , então e fica , o que dá infinitas soluções.

Resposta

possível determinado: nenhum k
possível indeterminado: k=-1
impossível: kneq-1

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