Em cada item, estabeleça condições que devem ser satisfeitas por a, b e c para que o sistemas linear seja: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
4 x+12 y+8 z & =a 2 x+5 y+3 z & =b -4 y-4 z & =c

Passo 1

O sistema
4x+12y+8z = a, 2x+5y+3z = b, -4y-4z = c
é um sistema 3times3. Para classificar em possível determinado, possível indeterminado ou impossível, vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes e estudar os postos (ranks) da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A = 4 & 12 & 8 2 & 5 & 3 0 & -4 & -4
Usando a expansão na primeira linha, obtemos
det A =4det5&3-4&-4 -12det2&30&-4 +8det2&50&-4 =-32+96-64=0
Logo det A=0, então nunca há solução única (não há possibilidade de caso possível determinado).

Passo 3

Como det A=0, o posto de A é no máximo 2. Verificamos que as duas primeiras linhas de A são independentes e que a terceira é combinação linear delas:
linha1-2cdotlinha2 = (0,2,2), linha3 = (0,-4,-4) = -2,(0,2,2)
Portanto rank(A)=2 para todos os a,b,c.

Passo 4

Para o sistema ser consistente (rank da matriz ampliada igual a 2), a combinação linear acima deve valer também para os termos independentes. Na matriz ampliada substituímos as constantes e exigimos
c ;stackrel!=;-2,(a-2b);=;-2a+4b
Se essa igualdade valer, rank(Aampliada)=2=rank(A) e há infinitas soluções. Se não valer, rank(Aampliada)=3>2 e o sistema é impossível.

Resposta

(a) Possível determinado: nunca (não existe a,b,c tal que det Aneq0).
(b) Possível indeterminado: se e só se
c = -2a + 4b
(c) Impossível: se e só se
c neq -2a + 4b

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