Em cada item, estabeleça condições que devem ser satisfeitas por e para que o sistemas linear seja: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
Passo 1
O sistema
4x+12y+8z = a, 2x+5y+3z = b, -4y-4z = c
é um sistema 3times3. Para classificar em possível determinado, possível indeterminado ou impossível, vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes e estudar os postos (ranks) da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada.
Passo 2
Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A = 4 & 12 & 8 2 & 5 & 3 0 & -4 & -4
Usando a expansão na primeira linha, obtemos
det A =4det5&3-4&-4 -12det2&30&-4 +8det2&50&-4 =-32+96-64=0
Logo det A=0, então nunca há solução única (não há possibilidade de caso possível determinado).
Passo 3
Como det A=0, o posto de A é no máximo 2. Verificamos que as duas primeiras linhas de A são independentes e que a terceira é combinação linear delas:
Para o sistema ser consistente (rank da matriz ampliada igual a 2), a combinação linear acima deve valer também para os termos independentes. Na matriz ampliada substituímos as constantes e exigimos
c ;stackrel!=;-2,(a-2b);=;-2a+4b
Se essa igualdade valer, rank(Aampliada)=2=rank(A) e há infinitas soluções. Se não valer, rank(Aampliada)=3>2 e o sistema é impossível.
Resposta
(a) Possível determinado: nunca (não existe a,b,c tal que det Aneq0).
(b) Possível indeterminado: se e só se