Em cada item, estabeleça condições que devem ser satisfeitas por a, b e c para que o sistemas linear seja: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
x+y-z & =a -x+2 z & =b y+z & =c

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x + y - z = a, -,x + 2z = b, y + z = c,
e pede as condições sobre a,b,c para que o sistema seja (i) possível determinado, (ii) possível indeterminado ou (iii) impossível. Vamos usar a teoria de sistemas lineares: determinante da matriz de coeficientes e posto da matriz ampliada.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & -1 -1 & 0 & 2 0 & 1 & 1
e calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet0 & 21 & 1 -1cdotdet-1 & 20 & 1 +(-1)cdotdet-1 & 00 & 1
Cada menor vale
det0 & 21 & 1 = -2, det-1 & 20 & 1 = -1, det-1 & 00 & 1 = -1,
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det(A) = 1cdot(-2) -1cdot(-1) +(-1)cdot(-1) = -2 +1 +1 = 0
Como det(A)=0 para todos os a,b,c, não há configuração que torne o sistema possível determinado.

Passo 3

Devemos então comparar o posto de A com o posto da matriz ampliada
(Amid d) = 1 & 1 & -1 & a -1 & 0 & 2 & b 0 & 1 & 1 & c
Observamos que, no lado dos coeficientes, a terceira linha é soma das duas primeiras:
(0,1,1) = (1,1,-1) + (-1,0,2),
portanto rank(A)=2.

Passo 4

Para haver solução, precisamos que o mesmo relacionamento entre linhas valha na parte ampliada. Somando as duas primeiras equações originais temos
(x+y-z) + (-x+2z) ;=; a + b Longrightarrow y + z = a + b
Para que isso coincida com a terceira equação y+z=c, é preciso
c = a + b
Se c=a+b, então rank(Amid d)=2=rank(A)<3 e o sistema tem infinitas soluções (possível indeterminado). Se cneq a+b, então rank(Amid d)=3>rank(A) e o sistema é incompatível (impossível).

Resposta

Possível determinado: não existe, pois det(A)=0 sempre.
Possível indeterminado: quando c = a + b.
Impossível: quando c neq a + b.

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